О пустом множестве
Последняя загрузка: 09.05.2021
Содержание
О пустом множестве
Точки зрения
Часто в математической литературе «легко» доказывается, что пустое множество
является подмножеством любого другого (пустого или непустого) множества.
Основой такого доказательства служат приводимые ниже определения
подмножества и пустого множества (курсив и полужирный шрифт везде мои):
1. Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы,
2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
и обозначается символом Ǿ (или обычным нулём: 0).
Совершенно очевидно, что в первом определении речь идёт о двух непустых
множествах, поскольку в каждом предполагается наличие элементов, которые
и сравниваются между собой.
Теперь посмотрим, как же на основании определения подмножества, которое
ЯВНО предполагает НАЛИЧИЕ элементов как во множестве, так и в его подмножестве,
доказывается, что пустое множество, определение которого ЯВНО предполагает
ОТСУТСТВИЕ элементов в нём, является подмножеством любого (пустого или
«… Пустое множество есть подмножество любого множества. Чтобы установить это,
надо доказать, что если А есть произвольное множество, то каждый элемент Ǿ
(вот именно: КАЖДЫЙ элемент Ǿ, а в Ǿ ИХ НЕТ! – Н.М.) есть элемент подмножества А.
Поскольку Ǿ не имеет элементов, то условие выполняется автоматически».
(Какая-то казуистика! – Н.М.)
Итак, «доказали»: каждый элемент Ǿ есть элемент А! Ну и ну! Так, чего доброго,
можно доказать и противоположное: Ǿ не является подмножеством А,
поскольку Ǿ не содержит элементов! Или ещё интереснее: поскольку А не содержит
ни одного элемента из Ǿ. Каково! Попробуй, опровергни!
Тем самым всякий элемент пустого множества содержится в любом множестве М.
А значит, любое множество М содержит пустое подмножество».
Голова моя явно слаба понять это. Ведь можно сказать и так:
Тем самым ни какой элемент пустого множества не содержится ни в каком
множестве М. А значит, никакое множество М не может содержать в качестве
подмножества пустое множество».
Пожалуй, разум более приемлет второе утверждение, как более понятное; – «раз нет,
то и говорить нечего», чем утверждение – «хотя нет, но есть:» (не путать с «понятным»
определением – « хотя и нет, но можно говорить…»)
«… Заметим, между прочим, что из определения отношения А следует, что,
каково бы ни было подмножество А множества J
Таким образом, «доказательства» во всех рассмотренных случаях
аналогичны. Чувствуя неубедительность своих аргументов, некоторые авторы
приводят «косвенные» доказательства того, что Ǿ
«… Хотя такое рассуждение (смотрите выше – Н.М.) правильно, в нём имеется
нечто неудовлетворительное. Имеется и другое, косвенное доказательство,
которое может оказаться более удобным. Это может быть лишь в том случае,
не являющийся множества А. Но это невозможно, так как Ǿ не имеет элементов.
Нетрудно провести аналогичное по форме «доказательство» противоположного
факта: Ǿ не принадлежит А. Действительно. Допустим, что Ǿ не принадлежит А
ложно (т.е. Ǿ – истинно). Это может быть лишь в том случае, если
не является ложным, т.е. Ǿ не принадлежит А ».
«… Свойство 4) (см. выше – Н.М.) может показаться несколько парадоксальным,
но если вдуматься (я очень пытался, но оказался слабоват – Н,М,), оно логически
строго соответствует точному смыслу определения знака
В самом деле, соотношение Ǿ нарушалось бы только в том случае,
если бы пустое множество Ǿ содержало элемент(да нету их там вообще. – Н.М.),
который не содержался бы в А, но так как пустое множество не содержит вовсе
элементов, то этого быть не может, каково бы ни было А».
А вот аналогичное по форме, но противоположное по результатам доказательство;
соотношение Ǿ не принадлежит А нарушалось бы только в том случае, если бы
множество А содержало бы все элементы … и т.д. и т.п. ( смотрите ранее
приведённое «контрдоказательство»).
Итак, любое доказательство утверждения Ǿ
На мой взгляд дать определение подмножества так, чтобы соотношение Ǿ
являлось его следствием, НЕЛЬЗЯ! Дело в том, что пустое множество
КАЧЕСТВЕННО отличается от непустого именно тем, что оно не содержит элементов.
Т. е. их вообще нелогично сравнивать!
Да, трудно доказать ЧТО-ТО, когда в разряд ЧЕГО-ТО зачисляется НИЧТО.
А поэтому удобное и необходимое для нас соотношение Ǿ нужно просто
ПОСТУЛИРОВАТЬ. Я так думаю.
«… Если, как это уже предполагалось выше, ввести в рассмотрение так
называемое пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного
Некоторые авторы (см. например [5], стр. 14) фактически так и поступают.
Не исключено, однако, что здесь имеет место отказ от доказательства соотношения
Ǿ ввиду его «очевидности»
«… Если, как это уже предполагалось выше, ввести в рассмотрение так
называемое пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного
Новая редакцЫя 17.03.2013 9:26
Литература:
[1], Множества. Логика. Аксиоматические теории,
[3], Что такое математика?
[5], Элементы теории функций и функционального анализа
Интересно сравнить
В некоторых формулировках теории множеств существование
пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества),
в других — доказывается.
Тема: «Около «науки»
Страницы : 23, 24, 40, 41, 77, 78, 79.
Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множество. Дополнение множества
В обычной речи мы часто употребляем слово “множество”: множество людей, множество книг, множество законов, множество денег и т.д.
В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Так же, как и понятия точки, числа и т.д., понятие множества является одним из тех первоначальных, наиболее общих понятий, которые приходится принимать без определения.
Примерами пустых множеств могут служить:
а) множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения x 2 + 1 = 0;
б) множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°;
в) множество решений системы уравнений
.
В каком случае можно считать, что множество задано? Иногда можно задать множество, перечислив все его элементы. Например, множество учеников в классе задается перечислением фамилий в классном журнале. Это нетрудно сделать, так как такое множество содержит конечное число элементов. Однако не всякое конечное множество можно задать перечислением. Множества слонов на нашей планете или рыб в океане тоже конечные, но попробуйте их перечислить
(или пересчитать!)! Тем более нельзя перечислить все элементы бесконечного множества. Так, множество всех цифр конечное и их легко перечислить: А=<0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>. А вот множество всех целых чисел, составленных из этих цифр, бесконечное и их уже не перечислишь. В таких случаях множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характерис-тическим свойством множества. Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Например, множество <2,4>может быть задано как:
а) множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1
1.2. Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множество. Дополнение множества
Приведем примеры подмножеств:
а) множество учеников 10-го класса данной школы есть подмножество множества всех учеников этой школы;
б) множество жителей Москвы является подмножеством множества жителей России;
в) множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;
г) множество Z всех целых чисел есть подмножество множества Q всех рациональных чисел.
Если одновременно с отношением А В имеет место отношение В А, то А=В. То есть, если одновременно А есть подмножество В и В есть подмножество А, то такие два множества равны.
Отношение А В изображено с помощью диаграмм на рис. 2 а, б.
1.3. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность
в) Обозначим через А множество целых чисел, через В множество четных чисел. Тогда А В есть множество А, то есть А В=А.
Примеры. а) Термин “пересечение” по существу геометрического происхождения. Пересечением прямой и плоскости, если прямая не параллельна плоскости, является их единственная общая точка. Если прямая и плоскость параллельны, то пересечение этих множеств пусто. Если же прямая лежит на плоскости, то их пересечение совпадает с множеством точек этой прямой.
Множество делителей числа 72 конечно. А множество кратных этого числа бесконечно: С=<72,144,216. 72n. >.
Бесконечно и множество кратных числа 54: D=<54,108,162,216. 54m. >.
Пересечением этих множеств является множество общих кратных для чисел 72 и 54: С D=<216,432. >.
Наименьшее число в С D, то есть 216, называется наименьшим общим кратным для 72 и 54.
Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10
в) Разностью множества четных чисел и множества целых чисел является пустое множество.
1.4. Основные законы операций над множествами
Некоторые свойства объединения и пересечения множеств очень похожи на свойства хорошо известных алгебраических операций сложения и умножения. Вместе с тем многие свойства введенных операций над множествами отличаются от свойств алгебраических операций. Приведем здесь основные свойства:
Здесь роль пустого множества аналогична роли числа 0 в алгебре. Однако свойство \А= уже не имеет аналога в алгебре.
Первый распределительный закон аналогичен соответствующему распределительному закону в алгебре. А вот второй закон никакого аналога в алгебре не имеет.
Свойства, сформулированные в п.п.1-4, очевидны и не нуждаются в доказательстве. Распределительные законы в п.5 уже сложнее. Однако вместо того, чтобы их строго доказывать, лучше попытаться их понять, пользуясь диаграммами Венна.
1.5. Числовые множества. Множества точек на прямой,
задаваемые алгебраическими уравнениями и неравенствами
а) множество всех действительных чисел R;
б) множество всех рациональных чисел Q;
в) множество всех натуральных чисел N;
г) множество всех чисел вида 
, где n принимает все натуральные значения.
Заштрихованная часть числовой прямой содержит все точки, принадлежащие соответст-вующему интервалу. Незакрашенные кружочки означают, что эти точки не принадлежат интервалу, а закрашенные, наоборот, означают, что эти точки принадлежат интервалу.
2. Окрестность точки. Окрестностью точки x 0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку (рис. 15). Открытый интервал (a,b) служит окрестностью всякой принад-лежащей ему точки.
Пример 1. Уравнение 
имеет своей областью определения множество [-4,+ ). Найдем его корни. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x + 4 = (2 – x ) 2 или x 2 – 5 x = 0.
Решим полученное квадратное уравнение:
x ( x – 5) = 0 или x 1 = 0, x 2 = 5.
Оба числа x 1 = 0 и x 2 = 5 принадлежат множеству [-4,+ ), однако число x 2 = 5 является посторонним корнем уравнения (это показывает простая проверка: 
). Таким образом множество корней данного уравнения <0> [-4,+ ). На прямой эти множества изображаются так:
.
Поэтому данное уравнение можно представить в виде совокупности двух уравнений: х = 3 и
–х = 3. Откуда получим два корня x 1 = 3, x 2 = –3. Геометрически эти решения можно истолковать так: расстояние от x 1 до начала отсчета О и расстояние x 2 до начала отсчета О равны 3 (рис. 17).
Пример 3. Неравенство | x | x |
4. Системы уравнений и неравенств с одним неизвестным.
Пример 5. Решить систему уравнений
.
или x 1 = 3, x 2 = –1.
При решении второго уравнения надо указать вначале его область определения: x 3. Далее, приравняв каждый из множителей нулю и решив получившиеся уравнения, будем иметь x 1 = 3,
x 2 = –2. Число x 2 = –2 не принадлежит области определения [3,+ ) и является посторонним корнем. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение: <3>.
Пример 6. Решить систему неравенств:
.
x 2 – 5 x – 6 = ( x + 1) ( x – 6).
Пересечением множеств является множество точек, на котором штриховки накладываются друг на друга.
Учитывая рассмотренные примеры 5 и 6, можно сделать один вывод. Множество решений системы уравнений или неравенств представляет собой пересечение множеств решений каждого из уравнений или неравенств, входящих в эту систему.
Иногда в процессе решения системы уравнений или неравенств получается некоторая совокупность других систем, к которым приводится данная система. В таких случаях множество решений исходной системы является объединением множеств решений каждой системы, входящей в эту совокупность. Разберем один пример.
Пример 7. Решить систему неравенств
.
Решение. Раскрывая модуль в первом неравенстве системы, получим два случая: 1) 
при 
и 2) 
при x – 6
1) 
или 2) 
Найдем пересечение первого и второго множества:
Используя распределительный закон пересечения относительно объединения (см. §4), будем иметь
Множество решений исходной системы является объединением множеств (9,12] и [4,5), то есть [4,5) (9,12].
1.6. Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями
и неравенствами с двумя переменными
Множества точек на плоскости можно задавать их характеристическими свойствами. В разд. 1.2 мы уже познакомились с такими примерами. Кроме такого способа задания их часто задают соотношениями между координатами точек в виде уравнений или неравенств.
Аналогично неравенство y > ax 2 + bx + c задает множество точек, лежащих по одну сторону от параболы (рис. 25 и 26), а неравенство y ax 2 + bx + c задает множество точек, лежащих по другую сторону (рис. 27 и 28).
Когда имеется система уравнений или неравенств с двумя переменными, то множество решений такой системы представляет собой пересечение множеств решений каждого уравнения или неравенства, входящего в систему.
Пример. Построить множество точек, удовлетворяющих следующим соотношениям:
б) 
.
Решение. В случае а) соотношения равносильны следующей системе
.
Рис. 29 Рис. 30 Рис. 31
Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34
1.7. Отображение множеств. Взаимно-однозначное
соответствие между множествами. Понятие числовой функции
1. Рассмотрим два множества А и В. Если каждому элементу а множества А некоторым способом поставлен в соответствие один элемент b множества В, то говорят, что задано отображение множества А в множество В. Записывают это так: f:A B или b=f(a). Через f обозначают то отображение (правило), по которому это соответствие устанавливается. С помощью диаграмм Венна это изображается так:
Если же каждый элемент множества В соответствует какому-либо элементу множества А,
то говорят, что множество А отображается на множество В (рис. 36).
В примере 1 так будет, если все стулья окажутся занятыми (то есть количество учеников и количество стульев одинаковое).
Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие (взаимно-однозначное отображение), если каждому элементу а из А поставлен в соответствие один элемент b из B, и при этом соответствии каждый элемент b из В соответствует одному и только одному элементу а из А. С помощью диаграмм взаимно-однозначное соответствие изображено на рис. 36.
В примере 2 отображение f:A С никогда не будет взаимно-однозначным, так как, вообще говоря, количество учеников в классе всегда меньше количества букв и, кроме того, ни одна фамилия не начинается с буквы “й” или “ь”.
Приведем теперь примеры взаимно-однозначного соответствия бесконечных множеств. Одним, наиболее хорошо всем знакомым, является взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел R и множеством точек на прямой (числовая прямая). Разберем и другой пример. Выберем на плоскости систему координат и поставим в соответствие каждой окружности вписанный в нее квадрат, стороны которого параллельны осям координат. Мы получим взаимно-однозначное соответствие между множеством всех окружностей и множеством всех квадратов, стороны которых параллельны осям координат. Другое взаимно-однозначное соответствие между этими множествами получается, если сопоставить каждой окружности описанный вокруг нее квадрат, стороны которого параллельны осям координат.
Далее рассмотрим множество А всех точек на плоскости и множество В всех окружностей на этой плоскости, имеющие заданный радиус R. Если поставить в соответствие каждой точке а окружность радиуса R с центром в этой точке, то получим взаимно-однозначное соответствие между множествами А и В.
Функцию можно задавать разными способами. Одним из способов является табличный. Например, таблица
.
1.8. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность множества.
1. Два множества называют эквивалентными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Проще всего проверить эквивалентность конечных множеств. Для двух конечных множеств взаимно-однозначное соответствие можно установить лишь в случае, когда они имеют одинаковое количество элементов. Поэтому конечные множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют поровну элементов. Для бесконечных множеств не имеет смысла говорить о числе элементов. Однако и среди бесконечных множеств можно найти эквивалентные.
2. Рассмотрим множество всех натуральных чисел N=<1,2,3,4. >. Любое бесконечное подмножество А множества N эквивалентно самому множеству N. В самом деле, элементы этого подмножества можно расположить в порядке возрастания и каждому поставить в соответствие его порядковый номер (перенумеровать). Получим Так как элементов в подмножестве А бесконечно много, этот процесс можно неограниченно продолжать. Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответствие между А и N. Нетрудно догадаться, что множество А представляет собой числовую последовательность. Таким образом, все числовые последовательности, содержащие различные элементы, эквивалентны множеству натуральных чисел N.
Рассмотрим теперь множество Z всех целых чисел:
Бесконечные множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, называются счетными множествами. Иными словами, если элементы бесконечного множества можно перенумеровать, то такое множество называется счетным. Самым простым примером счетного множества является само множество N натуральных чисел. Более сложные примеры счетных множеств мы рассмотрели выше.
Теперь сформулируем основные теоремы о счетных множествах.
Теорема 1. Каждое бесконечное подмножество А счетного множества В счетно.
Теорема 2. Объединение конечного или счетного множества счетных множеств счетно.
Доказывать эти теоремы мы не будем, хотя отметим, что доказательство теоремы 1 почти ничем не отличается от приведенного выше рассуждения, когда доказывалась эквивалентность между множеством N и его подмножеством А.
3. До сих пор мы рассматривали лишь такие бесконечные множества, которые являются счетными. Однако не все бесконечные множества счетные, существуют и такие, элементы которых нельзя перенумеровать. Простейшим примером такого множества является множество всех точек конечного интервала, например, интервала (0,1). Ясно, что в этом множестве содержится счетное подмножество. В качестве такого подмножества можно указать, например, числовую последовательность 
. Но оказывается, что точек в интервале (0,1) “намного” больше, чем точек этой последовательности. Точнее говоря, множество точек интервала (0,1) несчетно, то есть нельзя установить взаимно-однозначного соответствия между множеством точек интервала (0,1) и множеством натуральных чисел N. Доказательство этого утверждения мы проводить не будем. Легко сообразить, что любой другой интервал длины 1 на числовой прямой эквивалентен интервалу (0,1). Вообще, произвольный интервал (a,b) конечной длины эквивалентен интервалу (0,1). Взаимно-однозначное соответствие между ними можно установить так, как показано на рис. 38.
Точно так же любой отрезок (замкнутый интервал) эквивалентен отрезку [0,1] (рис. 39).
Это утверждение означает, что квадрат содержит “столько же” точек, что и отрезок, хотя на первый взгляд кажется, что в нем должно быть “гораздо больше” точек. Доказательство этой теоремы мы приводить не будем. Кстати сказать, множества точек плоскости и пространства тоже имеют мощность континуума.
