Доказать что наименьший положительный период функции равен 4п
Ответ оставил Гуру
Докажем следующие утверждения:
1. Наименьший положительный период функций синус и косинус равен 2?
2. Наименьший положительный период функций тангенс и котангенс равен?
Ранее было показано, что число 2? является периодом функций y=cos(x) и y=sin(x). Остается доказать, что число, меньшее 2?, не может являться периодом этих функций.
Если Т — произвольный период косинуса, то cos(a+t)- cos(a) при любом a. Пусть a=0, следовательно cos(T)=cos(0)=1. Наименьшее положительоне число Т, для которого cos(x)=1, есть 2?
Пусть T — произвольный период синуса. Тогда sin(a+T)=sin(a) для любого a. Пусть a=?/2, получаем sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Но sin(x)=1 только при x=?/2+2?n, где n — целое. Следовательно T=2?n. Наименьшее положительное число вида 2?n есть 2.
Если T — положительный период тангенса, то tg(T)=tg(0+T)=tg(0)=0. Так как на интервале (0;?) тангенс нулей не имеет, следовательно, T? 2. Ранее было доказано, что? — период функции тангенса, и, значит,? — наименьший положительный период тангенса. Аналогичное доказательство можно привести и для функции котангенса.
Обычно слова «наименьший положительный период» опускают и говорят просто «период».
Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Алгебра.
