Новое доказательство решает вопрос аппроксимации таких чисел, как пи
Древние греки интересовались, можно ли приблизительно выразить иррациональные числа дробями. Доказав давнюю гипотезу Даффина-Шаффера, два математика дали исчерпывающий ответ.
Двоичная запись π бесконечна. Но бесконечное число дробей могут приближаться к этому числу со всё возрастающей точностью.
Глубокие провалы на числовой прямой не так неприступны, как могло показаться. Это одно из последствий нового значимого доказательства того, как сложные числа поддаются простым приближениям.
Доказательство разрешает задачу почти 80-летней давности, известную, как гипотеза Даффина-Шаффера. Тем самым оно даёт окончательный ответ, занимавший математиков с древних времён: при каких условиях возможно представлять иррациональные числа, длящиеся бесконечно долго – типа числа пи – простыми дробями типа 22/7? Доказательство устанавливает, что ответ на этот довольно общий вопрос обнаруживается в результате единственного вычисления.
«Существует простой критерий того, можно ли аппроксимировать практически любое число или практически ни одного числа», — сказал Джеймс Мэйнард из Оксфордского университета, соавтор доказательства, сделанного им совместно с Димитрисом Кукулопулосом из Монреальского университета.
Математики несколько десятилетий подозревали, это этот простой критерий является ключом к пониманию того, когда можно получить хорошую аппроксимацию – но не могли доказать этого. Кукулопулос и Мэйнард смогли сделать это только после того, как они переформулировали эту задачу о числах в терминах связей между точками и линиями графа – кардинальное изменение перспективы.
«Я бы сказал, они были достаточно уверенными в себе (и это, очевидно, было оправдано), чтобы пойти по избранному пути, — сказал Джеффри Ваалер из Техасского университета в Остине, приложившего руку к ранним результатам, связанным с гипотезой Даффина-Шаффера. – Прекрасная работа».
Арифметический эфир
С рациональными числами всё просто. В них входят числа для счёта предметов и все остальные числа, которые можно записать в виде дробей.
Благодаря этой способности быть записанными, рациональные числа знакомы нам лучше всего. Однако среди всех вещественных чисел рациональных на самом деле довольно мало. Большая часть чисел – иррациональные, с бесконечной десятичной записью, и их невозможно записать в виде дробей. Некоторые из них оказались достаточно важными для того, чтобы заслужить символические обозначения – пи, е, √2. Остальные нельзя даже назвать. Они повсюду, но недостижимы – словно арифметический эфир.
Возможно, поэтому, естественно будет задуматься – если мы не можем точно выразить иррациональные числа, как близко мы можем подойти к ним? Это область рационального приближения. Математики древности поняли, что неуловимое отношение длины окружности к диаметру можно неплохо приблизить при помощи дроби 22/7. Позднее математики обнаружили ещё более точное и почти такое же сжатое приближение к пи: 355/113.
«Записать пи очень сложно, — сказал Бен Грин из Оксфорда. – Люди пытались найти наиболее точное приближение к пи, и одним из распространённых способов сделать это было использование рациональных чисел».
В 1837 году математик Петер Густав Лежён Дирихле обнаружил правило, говорящее нам, насколько точно можно аппроксимировать иррациональные числа при помощи рациональных. Приближение легко найти, если не устанавливать точного значения ошибки. Но Дирихле доказал наличие чёткой взаимосвязи между дробями, иррациональными числами и разделяющими их ошибками.
«Удивительная и примечательная вещь – возможность приближённо выразить вещественное число через дробь, с ошибкой, не превышающей единицы, делённой на квадрат знаменателя», — сказал Эндрю Грэнвиль из Монреальского университета.
В рукописи 1913 года математик Сриниваса Рамануджан Айенгор использовал дробь 355/113 в качестве рациональной аппроксимации пи.
Открытие Дирихле было ограниченным заявлением по поводу рационального приближения. Оно говорит, что для любого иррационального числа вы можете найти бесконечно много приближающихся к нему дробей, если вы можете использовать в качестве знаменателя любое целое число, и вас устраивает ошибка в размере его обратного квадрата. Но что, если вам нужно, чтобы знаменатели принадлежали к некоторому (бесконечному) подмножеству целых чисел, к примеру, к множеству простых чисел, или к множеству полных квадратов? Что, если вам нужно, чтобы ошибка приближения равнялась 0,00001, или имела любое другое значение? Удастся ли вам найти бесконечно много аппроксимирующих дробей именно в таких условиях?
Гипотеза Даффина-Шаффера – попытка создать наиболее обобщённую платформу для работы с рациональными аппроксимациями. В 1941 году математики Р. Д. Даффин и А.С. Шафер представили следующий сценарий. Сначала выберем бесконечный список знаменателей. Это может быть всё, что хотите: нечётные числа, числа, делящиеся на 10, простые числа.
Потом для каждого числа в списке выберите, насколько точно вам нужно приблизить иррациональное число. Интуиция говорит нам, что если мы выберем достаточно большие ошибки, у нас будет больше возможности для аппроксимации. Если выбрать небольшой размер ошибки, это будет сложнее. «Подойдёт любая последовательность, если оставлять достаточно места», — сказал Кукулопулос.
Теперь, учитывая выбранные параметры – последовательность чисел и определённую ошибку – возникает вопрос: можно ли найти бесконечно много дробей, приближающих все иррациональные числа?
Гипотеза обеспечивает математическую функцию для оценки этого вопроса. Ваши параметры выступают в качестве входных данных. Результатом может быть один из двух вариантов. Даффин и Шаффер предположили, что два этих варианта соответствуют как раз тому, сможет ли ваша последовательность аппроксимировать практически все иррациональные числа с требуемой точностью, или практически ни одно из них («практически» упоминается потому, что для любого набора знаменателей всегда будет существовать небольшое число изолированных иррациональных чисел, которые можно или нельзя достаточно хорошо приблизить).
«Вы получаете практически всё или практически ничего. Промежуточных вариантов нет», — сказал Мэйнард.
Это было чрезвычайно общее заявление, пытающееся характеризовать аппроксимацию рациональными числами вдоль и поперёк. Критерий, предложенный Даффином и Шаффером, казался математикам правильным. Однако доказать, что в двоичном выходе функции содержится всё, что нужно для того, чтобы понять, работает ваша аппроксимация, или нет – вот это было сделать гораздо сложнее.
Двойной подсчёт
Доказательство гипотезы Даффина-Шаффера связано с тем, чтобы понять, какую пользу вы получаете с каждого из доступных вам знаменателей. Чтобы ощутить это, полезно будет рассмотреть уменьшенную версию этой задачи.
Допустим, вы хотите аппроксимировать все иррациональные числа на отрезке от 0 до 1. Представим, что в качестве знаменателей вам доступны все натуральные числа от 1 до 10. Список возможных дробей достаточно большой. Сначала 1/1, затем 1/2 и 2/2, потом 1/3, 2/3 и 3/3, и так далее, вплоть до 9/10 и 10/10. Однако пользы от них никакой.
К примеру 2/10 – то же самое, что 1/5, а 5/10 – то же самое, что 1/2, 2/4, 3/6 и 4/8. До появления гипотезы Даффина-Шаффера советский математик Александр Яковлевич Хинчин сформулировал похожую по широте гипотезу о рациональной аппроксимации. Однако его теорема не учитывала тот факт, что эквивалентные дроби нужно считать только по одному разу.
Димитрис Кукулопулос (слева) и Джеймс Мэйнард на презентации своего доказательства на конференции в Италии
«Обычно математика для первого класса не должна влиять на решение задач, — сказал Грэнвиль. – Но в данном случае, как ни удивительно, она повлияла».
Поэтому в гипотезе Даффина-Шаффера есть член, подсчитывающий количество уникальных дробей (или приведённых дробей) для каждого знаменателя. Этот член называется функцией φ Эйлера в честь её изобретателя, математика XVIII века Леонарда Эйлера. φ(10) равняется 4, поскольку между 0 и 1 существует всего четыре приведённых дроби со знаменателем 10: 1/10, 3/10, 7/10 и 9/10.
Следующий шаг – посчитать, сколько иррациональных чисел можно аппроксимировать при помощи каждой из приведённых дробей. Это зависит от того, ошибку какого размера вы готовы принять. Гипотеза Даффина-Шаффера позволяет выбирать ошибку для каждого из знаменателей. Например, для дробей со знаменателем 7 можно взять допустимую ошибку 0,02. Для знаменателя 10 можно взять ошибку 0,01.
Определив знаменатели и члены ошибок, пора ставить сети на иррациональные числа. Постройте ваши дроби на числовой прямой между 0 и 1, а ошибки нарисуйте в виде сетей, отходящих от дроби с каждой стороны. Можно сказать, что все иррациональные числа, попавшие в сети, «удовлетворительно аппроксимированы» для заданных членов. Вопрос в следующем: сколько иррациональных чисел вы поймали?
В любом интервале числовой прямой содержится бесконечное количество иррациональных чисел, поэтому точное количество пойманных иррациональных чисел написать нельзя. Вместо этого математики говорят о пропорции общего количества иррациональных чисел, пойманных каждой дробью. Они оценивают эти пропорции при помощи такой концепции, как «мера» подмножества чисел – это что-то вроде оценки количества пойманной рыбы по весу, а не по количеству.
Гипотеза Даффина-Шаффера предлагает сложить все меры подмножеств иррациональных чисел, пойманных каждой из аппроксимирующих дробей. Она представляет это число в виде большой арифметической суммы. Затем она делает своё главное предсказание: если эта сумма уходит в бесконечность, то вы аппроксимировали практически все иррациональные числа; если же она даёт лишь конечное значение, вне зависимости от того, сколько мер вы просуммировали, тогда вам не удалось аппроксимировать практически ни одного иррационального числа.
Подобный вопрос, «расходится» ли сумма до бесконечности или «сходится» к конечному значению, возникает во многих областях математики. Главное заявление гипотезы Даффина-Шаффера состоит в том, что если вы хотите понять, можете ли вы аппроксимировать почти все иррациональные числа при помощи заданного множества знаменателей и допускаемых ошибок, то вам нужно знать только одно: расходится ли бесконечная сумма мер до бесконечности, или сходится к конечному значению.
«В итоге, неважно, как вы решили оценивать аппроксимацию для каждого знаменателя, ваш успех целиком зависит только от одного: расходится ли бесконечная последовательность, или нет», — сказал Ваалер.
Построение решения
Вы можете задаться вопросом: а что, если числа, аппроксимированные одной дробью, пересекутся с числами, аппроксимированными другой? Не будем ли мы учитывать их по два раза при подсчёте мер?
Для некоторых последовательностей аппроксимации двойной подсчёт не имеет значения. Математики уже несколько десятилетий назад доказали, что эта гипотеза выполняется для последовательностей аппроксимации, состоящих из простых чисел. Но для многих других последовательностей аппроксимации двойной подсчёт представляет проблему. Поэтому математики и не могли разобраться с этой гипотезой в течение 80 лет.
Степень, до которой различные знаменатели отлавливают пересекающиеся множества иррациональных чисел, отражается в количестве простых делителей, общих для всех знаменателей. Рассмотрим числа 12 и 35. Простые делители у 12 – это 2 и 3. Простые делители у 35 – это 5 и 7. Иначе говоря, общих простых делителей у 12 и 35 нет – в итоге, множества иррациональных чисел, которые можно аппроксимировать долями со знаменателями 12 и 35 не особенно пересекаются.
А что насчёт знаменателей 12 и 20? У 20 простые делители – это 2 и 5, пересекающиеся с делителями 12. Точно так же и иррациональные числа, которые можно аппроксимировать дробями со знаменателем 20, пересекаются с теми, которые можно аппроксимировать дробями со знаменателем 12. Гипотезу Даффина-Шаффера тяжелее всего доказать именно в таких ситуациях — когда у чисел в аппроксимационной последовательности есть много общих небольших простых делителей, и происходит пересечение многих подмножеств чисел, которые аппроксимирует каждый из знаменателей.
«Когда у многих знаменателей из которых вы выбираете есть много небольших простых делителей, они начинают мешать друг другу», — сказал Сэм Чау из Оксфорда.
Ключ к решению гипотезы заключался в поиске способа точно подсчитать взаимные наложения подмножеств иррациональных чисел, которые аппроксимируются знаменателями, имеющими общие простые делители. 80 лет этого никому не удавалось сделать. Кукулопулос и Мэйнард добились успеха, найдя совершенно новую точку зрения на задачу.
Граф взаимного наложения
В своём новом доказательстве они строят из своих знаменателей граф. Они строят их в качестве вершин графа и соединяют вершины ребром, если у них есть множество общих простых делителей. Структура графа описывает наложение подмножеств иррациональных чисел, которые аппроксимирует каждый из знаменателей. И хотя это наложение тяжело исследовать напрямую, Кукулопулос и Мэйнард нашли способ анализировать структуру графа при помощи инструментов из теории графов – и нужная им информация нашлась таким путём.
«Граф помогает визуально разбираться в задаче, это красивый язык, на котором можно размышлять о проблеме», — сказал Кукулопулос.
Кукулопулос и Мэйнард доказали, что гипотеза Даффина-Шаффера и в самом деле верна: если вам дали список знаменателей с допустимыми ошибками, вы можете определить, возможно ли аппроксимировать практически все иррациональные числа, или это невозможно сделать, просто проверяя, расходится ли соответствующая сумма мер в бесконечность или сходится к конечному значению.
Это элегантная проверка, берущая обширный вопрос природы аппроксимации рациональными числами и сводящая его к единому вычисляемому значению. Доказав универсальность проверки, Кукулопулос и Мэйнард совершили один из величайших поступков для математики: дали окончательный ответ на основополагающий вопрос в своей области.
«Их доказательство стало необходимым и достаточным результатом, — сказал Грин. – Полагаю, он отмечает конец очередной главы в математике».
Доказать что сумма иррациональных чисел иррациональное число
Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой 
в полужирном начертании без заливки. Таким образом: 
, т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.
О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 
.
Свойства
Примеры
Примеры доказательства иррациональности
Корень из 2
Допустим противное: 
рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби 
, где 
— целое число, а 
— натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
.
Отсюда следует, что 
чётно, значит, чётно и . Пускай 
, где 
целое. Тогда
Следовательно, 
чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.
Двоичный логарифм числа 3
Допустим противное: 
рационален, то есть представляется в виде дроби , где и — целые числа. Поскольку 0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/d/1/3/d1351d4222403731e31419faebbe54bc.png»/>, и могут быть выбраны положительными. Тогда
Но 
чётно, а 
нечётно. Получаем противоречие.
История
Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.
Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:
Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.
Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.
Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.
Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.
Средние века
Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.
Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:
 | Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами. |  |
В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:
| результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной. | |
Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:
| Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от нее, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней. | |
Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.
Наше время
В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.
Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.
