math4school.ru
Алгебра многочленов
Немного теории
Задачи с решениями
1. Разложить на множители:
б) (a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 ;
в) x 3 + y 3 + z 3 – xyz.
а) х 5 + х + 1 = х 5 – х 2 + х 2 + х + 1= х 2 (х 3 – 1) + (х 2 + х + 1) =
= х 2 (х – 1)(х 2 + х + 1) + (х 2 + х + 1) = (х 3 – х 2 )(х 2 + х + 1) + (х 2 + х + 1) =
= (х 2 + х + 1)( х 3 – х 2 + 1);
б) Многочлен обращается в нуль при выполнении хотя бы одного из условий
поэтому он делится на каждую из трех разностей
значит, и на их произведение.
Так как исходный многочлен имеет степень 3, то от произведения
(также многочлена степени 3) он отличается лишь числовым множителем k.
(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = k(а – b)(b – c)(c – a).
При а = 1, b = 0, с = –1 получим
1 + 1 – 8 = k · 1 · 1 · (–2),
Откуда k = 3, значит,
(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = 3(а – b)(b – c)(c – a).
в) x 3 + y 3 + z 3 – xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y + z) =
= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 ) – 3xy(x + y + z) =
= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy) =
= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx).
2. Докажите, что сумму квадратов двух различных натуральных чисел, умноженную на сумму квадратов двух других различных натуральных чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Доказательство непосредственно следует из следующих алгебраических преобразований:
(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 =
= (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2 ) + (a 2 d 2 – 2abcd + b 2 c 2 ) =
3. Докажите, что при любых x, y, z, t выражение x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt неотрицательно. Выяснить все случаи, когда оно равно нулю.
Представим данный многочлен в виде суммы неотрицательных слагаемых следующими способами:
x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – y 2 ) 2 + (z 2 – t 2 ) 2 + 2(xy – zt) 2 > 0,
x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – z 2 ) 2 + (y 2 – t 2 ) 2 + 2(xz – yt) 2 > 0,
x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – t 2 ) 2 + (y 2 – z 2 ) 2 + 2(xt – yz) 2 > 0.
Равенство выполняется только если
x 2 – y 2 = z 2 – t 2 = x 2 – z 2 = xy – zt = 0,
|x| = |y| = |z| = |t| и xyzt > 0.
4. Является ли многочлен Р(х) = 2х 4 + 8х 3 + 12х 2 + 8х + 1 квадратом некоторого другого многочлена?
Предположим, что существует многочлен второй степени Q(х) такой, что
Тогда, так как Р(–1) = –1, то Q(–1)·Q(–1) = –1
5. Существует ли такой многочлен Р(х) с действительными коэффициентами, что Р(х) > 2015 · Р'(х) для всех х?
Да, существует. Например,
Р(х) – 2015 · P'(x) = х 2 + 2015 2 – 2 · х · 2015 = (х – 2015) 2 > 0.
Р(х) = (х 7 + х – 1) 2014 и Р(–х) = (–х 7 – х – 1) 2014
отличаются только знаками коэффициентов при нечётных степенях х. Значит, многочлен
будет содержать только нечётные степени х и при этом искомая сумма равна половине значения Q(1). Так как
то сумма коэффициентов при нечетных степенях х многочлена (х 7 + х – 1) 2014 равна
7. Доказать, что многочлен
| Р(х) = | 1 | х 9 – | 1 | х 7 + | 13 | х 5 – | 82 | х 4 + | 32 | х |
| 630 | 21 | 30 | 63 | 35 |
при всех целых значениях х принимает целые значения.
Заметим, что исходный многочлен можно представить в виде
Р(х) = ( 1 /2·5·7·9)(х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1)х(х + 1)(х + 2)(х + 1)(х + 4).
Поскольку среди девяти последовательных целых чисел обязательно найдутся числа делящиеся на 2, 5, 7, 9, то при любом целом k произведение
(k – 4)(k – 3)(k – 2)(k – 1)k(k + 1)(k + 2)(k + 1)(k + 4)
делится на произведение взаимно простых чисел 2·5·7·9. Следовательно, число Р(k) является целым, что и требовалось доказать.
8. Известно, что ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c, d – данные целые числа, при любом целом x делится на 5. Докажите, что все числа a, b, c, d делятся на 5.
Подставив x = 0, получим, что d кратно 5.
Учитывая это и подставляя x = ±1, получим, что a + b + c и –a + b – c кратны 5. Следовательно, 2b и 2a + 2c кратны 5, а значит, b и a + c кратны 5.
Подставив x = 2, получим, что 2(4a + c) + 4b + d = 6а + 2(a + c) + 4b + d кратно 5. Значит, a кратно 5 а, следовательно, и c кратно 5.
9. Какими должны быть значения a и b, чтобы многочлен x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b был полным квадратом?
Приведённый многочлен четвёртой степени может быть квадратом лишь приведённого квадратного трёхчлена. Итак,
Возведя в квадрат трёхчлен, стоящий в правой части, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в обеих частях тождества, получим
2p = 1, p 2 + 2q = 2, 2pq = a, q 2 = b.
Решив эту систему уравнений, найдём p = 1 /2, q = a = 7 /8, b = 49 /64.
10. Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
(x 2 – 1)(x 2 – 2 2 ). (x 2 – k 2 )
x(x 2 – 1)(x 2 – 2 2 ). (x 2 – k 2 )
степени n = 2k + 1 показывают, что улучшить этот результат нельзя: у первого коэффициенты при всех нечётных степенях, а у второго – при всех чётных степенях равны нулю.
Ответ: n / 2 при чётном n, (n+1) / 2 при нечётном n.
Задачи без решений
1. Разложить на множители:
б) (a – x)·y 3 – (a – y)·x 3 + (x – y)·a 3 ;
2. Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого
3. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x 2 – 3x + 1) 100 после раскрытия скобок и приведения подобных членов.
4. Многочлены Р(х) и Q(х) такие, что Р(x 3 ) + Q(x 3 ) делится на x 2 + х + 1. Доказать, что Р(х) + Q(х) делится на х – 1.
Докажите что многочлен х3 5х2 3х 1
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:
Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1 ⋅ 5 + 5 = 10 :
Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1 ⋅ 10 + 1 = 11 :
Для пятой ячейки получим: 1 ⋅ 11 + 0 = 11 :
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1 ⋅ 11 + ( −11) = 0 :
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x 3 +10x 2 +11x+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 на x−1.
В нашем случае остаток равна нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 при x=1 равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 при x=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11.
2. Найдите неполное частное, остаток от деления многочлена
