Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
1) лежит на средней линии трапеции,
2) равен полуразности оснований трапеции.
Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,
F — середина AC, K — середина BD,
MN — средняя линия трапеции
Так MN — средняя линия трапеции ABCD, то M — середина AB, N — середина CD, и MN||AD, MN||BC.
Рассмотрим угол ABD.
Так как AM=BM и MN||AD, то по теореме Фалеса, отрезки, на которые прямая MN делит BD, также равны, то есть MN пересекает отрезок BD в его середине, то есть в точке K.
Аналогично, для угла BAC:
AM=BM, MN||AD, следовательно, по теореме Фалеса прямая MN пересекает отрезок AC в его середине, то есть в точке F.
Таким образом, отрезок, соединяющий середины диагонали трапеции, параллелен основаниям трапеции и лежит на её средней линии.
MF — средняя линия треугольника ABC. Поэтому
Что и требовалось доказать.
Если использовать обозначения AD=a, BC=b, то формула длины отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, примет вид
Отрезок соединяющий середины диагоналей трапеции
Здравствуйте!
Нужно доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, расположен параллельно относительно ее оснований и численно равен половине их разности.
Спасибо!
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
У трапеции есть интересное свойство, которое объединяет сразу три ее основные измерения: диагонали, основания и среднюю линию:
Отрезок, которые соединяет середины диагоналей, принадлежит средней линии, а его длина равна разности оснований трапеции, деленной на 2.
В школьном курсе геометрии предлагается решить такую задачу:
Доказать, что отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, расположен параллельно относительно ее оснований и численно равен половине их разности.
Рассмотрим доказательство этой задачи.
Итак, дана трапеция, назовем которую стандартно — ABCD.
Обозначим середину диагонали АС точкой М, а середину диагонали BD точкой N. Следовательно, АМ = МС и BN = ND.
Докажем, что:
1) прямая, которая содержит отрезок MN, параллельна основанию трапеции AD;
2) 
. 
Доказательство:
Воспользуемся теоремой Фалеса.
Рассмотрим треугольники АВС и ВСD.
Средняя линия трапеции KF проходит через средины сторон АВ и CD, а также через середины диагоналей AC и BD. Следовательно отрезок MN, который также проходит через середины М и N диагоналей трапеции, лежит на прямой KF. Прямая KF по свойству средней линии трапеции параллельна ее основаниям. Значит, отрезок MN также параллелен основанию AD. Что и требовалось доказать.
Воспользуемся еще одним свойством средней линии трапеции, согласно которому она равна половине суммы оснований трапеции.
Рассмотрим треугольник АСD.
В нем средней линией является отрезок MF. Запишем:
Рассмотрим треугольник BСD.
В нем средней линией является отрезок NF. Запишем:
Отрезок MN можно найти путем вычитания из отрезка MF отрезка NF:
MN = MF — NF.
Подставим в формулу выражения для MF и NF:
Теорема доказана.
Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.
Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.
