Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения
В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения одной из самых распространенных трехмерных геометрических фигур – цилиндра. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Определение цилиндра
Далее мы подробно остановимся на прямом круговом цилиндре как самой популярной разновидности фигуры. Другие ее виды будут перечислены в последнем разделе данной публикации.
Прямой круговой цилиндр – это геометрическая фигура в пространстве, полученная путем вращения прямоугольника вокруг своей стороны или оси симметрии. Поэтому такой цилиндр иногда называют цилиндром вращения.
Цилиндр на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ABCD вокруг оси O1O2 на 180° или прямоугольников ABO2O1/O1O2CD вокруг стороны O1O2 на 360°.
Основные элементы цилиндра
Развёртка цилиндра – боковая (цилиндрическая) поверхность фигуры, развернутая в плоскость; является прямоугольником.
Примечание: формулы для нахождения площади поверхности и объема цилиндра представлены в отдельных публикациях.
Геометрические тела. Цилиндр.
 |  |
Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой – направляющей. Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Прямой цилиндр – это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр.
Круговой цилиндр – цилиндр, основанием которого является круг.
Круглый цилиндр – такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.
Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L, которая равна высоте цилиндра H.
Призма – это частный случай цилиндра.
Формулы нахождения элементов цилиндра.
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра:
Объем прямого кругового цилиндра:
Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием либо кратко скошенный цилиндр определяют с помощью радиуса основания R, минимальной высоты h1 и максимальной высоты h2.
Площадь боковой поверхности скошенного цилиндра:
Площадь оснований скошенного цилиндра:
Площадь полной поверхности скошенного цилиндра:
Объем скошенного цилиндра:
Какая фигура является основанием цилиндра овал круг квадрат
Тест с ответами: “Цилиндр”
1. Дан цилиндр, длина диаметра основания которого в два раза меньше длины образующей. Объем этого цилиндра равен 108п. Вычислите диаметр основания:
а) 6 +
б) 14
в) 12
2. Что представляет сечение цилиндра, проведенное плоскостью, перпендикулярно оси:
а) овал
б) круг +
в) прямоугольник
3. Вычислите длину радиуса основания равностороннего цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 24п:
а) 48
б) 12
в) 2 +
4. Что представляет осевое сечение цилиндра:
а) прямоугольник +
б) треугольник
в) овал
5. Объем цилиндра равен произведению площади … на высоту:
а) стороны
б) вершины
в) основания +
6. Что представляет боковая поверхность цилиндра:
а) треугольник
б) прямоугольник +
в) круг
7. Сечение, проходящее параллельно основаниям цилиндра, является:
а) прямоугольником
б) квадратом
в) кругом +
8. Объем цилиндра равен 64π, а площадь боковой поверхности – 32π. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на π:
а) 64 +
б) 72
в) 48
9. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, называется:
а) правильным круглым
б) эллиптическим
в) равносторонним +
10. Про прямые круговые цилиндры C1 и C2 известно, что у C1 радиус основания в два раза больше, чем у C2, но у C2 высота в три раза больше, чем у C1. Найдите отношение объёма цилиндра C2 к объёму C1:
а) 1
б) 0,75 +
в) 1,2
11. Если диаметр основания и образующая цилиндра равны друг другу, то осевым сечением является:
а) квадрат +
б) круг
в) прямоугольник
12. В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,4 раза. Чему равен объем детали:
а) 24 л
б) 14 л +
в) 12 л
13. Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её:
а) цилиндр +
б) конус
в) квадрат
14. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра:
а) 1,20
б) 1,5
в) 1,25 +
15. Сечение, проходящее параллельно оси цилиндра, может быть:
а) либо прямоугольником, либо квадратом +
б) только квадратом
в) только прямоугольником
16. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого:
а) 18 см
б) 3 см +
в) 9 см
17. Если диаметр основания и образующая цилиндра не равны друг другу, то осевым сечением является:
а) квадрат
б) круг
в) прямоугольник +
18. В цилиндрический сосуд налили 1200 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали:
а) 1100 см3
б) 1000 см3 +
в) 100 см3
19. Вычислите длину высоты равностороннего цилиндра, площадь осевого сечения которого равна 25:
а) 50
б) 12,5
в) 5 +
20. Пусть V, r, h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите объем, если r=2√2 cм, h=3 см:
а) 43π см3
б) 24π см3 +
в) 31π см3
21. Сколько образующих можно провести в цилиндре:
а) много +
б) одну
в) две
22. Радиус основания цилиндра равен 7, а высота – 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π:
а) 124
б) 140 +
в) 104
23. Какой вид не может иметь сечение цилиндра:
а) овал
б) квадрат
в) треугольник +
24. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 41. Найдите площадь полной поверхности цилиндра:
а) 60
б) 61,5 +
в) 55
25. Вращением какой геометрической фигуры можно получить цилиндр:
а) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы
б) прямоугольного треугольника вокруг катета
в) прямоугольника вокруг одной из сторон +
26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18π, а диаметр основания равен 9. Найдите высоту цилиндра:
а) 4
б) 2 +
в) 36
27. Площадь полной поверхности цилиндра:
а) S=2п(r+h) +
б) S= r(r+h)
в) S=пr(r+h)
28. Поверхность, образуемая однопараметрическим семейством параллельных прямых (называемых образующими) и проходящими через точки некоторой кривой (называемой направляющей):
а) поверхность основания цилиндра
б) коническая поверхность
в) цилиндрическая поверхность +
29. Площадь боковой поверхности цилиндра:
а) S=пrh +
б) S=2r
в) S=r2
30. Отрезок, высекаемый плоскостями его оснований на прямой, перпендикулярной им, или длина этого отрезка:
а) сторона цилиндра
б) высота цилиндра +
в) вершина цилиндра
План-конспект урока геометрии в 11-м классе «Объем цилиндра»
Мы продолжаем встречи на уроках геометрии. Трудно не согласится со словами А.С. Пушкина «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии», ну а вас гуманитариев это чувство посещало уже не раз. И я желаю вам творческого вдохновения. И так в путь.
Как сказал мыслитель древности П. Рамус: «Геометрия это наука хорошо измерять». Мы продолжим сегодня измерять цилиндр и покажем, что целесообразно измерить в той или иной ситуации, и зачем это нужно делать.
II. Актуализация опорных знаний.
С элементами цилиндра мы уже знакомы, на столе у вас лежат тесты по названной теме. Он состоит из 10 заданий с выбором одного или нескольких правильных ответов из трех предложенных. Номер правильного ответа подчеркнуть ручкой. Исправления исключаются. Для работы с тестом выделяется 4 мин.
1. Какая фигура является основанием цилиндра:
а) окружность;
б) круг;
в) эллипс.
2. Назовите отрезок который является радиусом:
3. Укажите на рисунке образующую цилиндра:
а) Расстояние между плоскостями его основания;
б) отрезок, который соединяет две любые точки оснований;
в) отрезок, который соединяет центр круга с любой точкой цилиндра.
5. Какая фигура является осью цилиндра?
6. Равносторонний цилиндр – это цилиндр, у которого:
а) образующая равна высоте;
б) радиус основания равен высоте цилиндра;
в) диаметр основания равен высоте цилиндра.
7. Масса тела вычисляется по формуле:
8. Буквой 
обозначают:
а) площадь;
б) плотность;
в) температуру.
9. Укажите номера правильных выражений:
10. Объем цилиндра вычисляется по формуле:
На экране вы видите кляч к тесту и критерий для самооценки своих знаний.
И поставьте оценку подпишите работы и сдайте.
III. Откроем тетради запишем: число, классная работа, тема урока «Объем цилиндра», и решим задачи.
При монтаже трубопровода по поверхности земли используются трубы размеры которой даны на рисунке. Размеры даны в см. Вычислить металла, который затратят на изготовление этой трубы. Проанализируем условие задачи и составим план решения.
Данное тело можно разбить на несколько цилиндров:
Запишите план решения этой задачи, а дома выполните вычисления.
Текст с рисунком на экране.
(фронтально) составим план решения задачи. Чтобы составить план решения проанализируем условие задачи:
При составлении плана решения задачи наши логические рассуждения запишем в обратном порядке:
Решение. (Самостоятельное решение)
Текст с рисунком на экране.
Для тренировки смекалки представьте себе такое вынужденное положение:
Необходимо, пользуясь только масштабной линейкой определить объем бутылки, которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Выливать и доливать жидкость не разрешается.
Давайте подведем итоги урока:
Урок геометрии на тему «Цилиндр». 11-й класс
Оборудование и материалы:
Учитель: Тема нашего урока “Цилиндр”. С данным геометрическим телом вы знакомы давно. Какие предметы из окружающей среды напоминают вам цилиндр?
Учитель: На партах у вас развертки цилиндров. Сейчас каждый из вас заготовит цилиндр.
Прямым круговым цилиндром называют цилиндр, у которого в основании лежат круги, а образующая перпендикулярна основаниям. В дальнейшем прямой круговой цилиндр будем называть просто “цилиндр”. Его элементы: ось, радиус, высота, образующая, основания, боковая поверхность.
Нанесите на заготовленный цилиндр данные элементы и подумайте над определениями этих понятий.
Проверим, насколько верно вы дали определения.
Цилиндрическим телом или цилиндром называется тело, ограничение замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими её параллельными плоскостями:
— часть цилиндрической поверхности, ограничивающей цилиндр — боковая поверхность;
— части секущих параллельных плоскостей, выделяемые цилиндрической поверхностью — его основания;
— часть образующей цилиндрической поверхности — образующая цилиндра
— если в основании цилиндра круг — цилиндр круговой.
Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Рассмотрите и подумайте, как можно провести сечения, и какие геометрические фигуры получатся в результате. (Прямоугольник, овал или эллипс, круг.)
Посмотрим, как они выглядят и воспроизведем на заготовках.
Учитель: Необходимо найти площади боковой и полной поверхностей цилиндра. Как они вычисляются.
Учитель: Переходим к проверке практической работы.
Проверочная работа
Тесты по геометрии на тему “Цилиндр”
Взаимопроверка теста
Ответы теста :1в- 2, 2в-3, 3в-3, 4в-2, 5в-3, 6в-4, 7в-1, 8в-2, 9в-3, 10в-4
Учитель подводит итоги урока, анализирует уровень усвоения теоретического материала, задает задание на дом.
План-конспект урока геометрии в 11-м классе «Объем цилиндра»
Разделы: Математика
I. Вступительная часть.
Мы продолжаем встречи на уроках геометрии. Трудно не согласится со словами А.С. Пушкина «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии», ну а вас гуманитариев это чувство посещало уже не раз. И я желаю вам творческого вдохновения. И так в путь.
Как сказал мыслитель древности П. Рамус: «Геометрия это наука хорошо измерять». Мы продолжим сегодня измерять цилиндр и покажем, что целесообразно измерить в той или иной ситуации, и зачем это нужно делать.
II. Актуализация опорных знаний.
С элементами цилиндра мы уже знакомы, на столе у вас лежат тесты по названной теме. Он состоит из 10 заданий с выбором одного или нескольких правильных ответов из трех предложенных. Номер правильного ответа подчеркнуть ручкой. Исправления исключаются. Для работы с тестом выделяется 4 мин.
1. Какая фигура является основанием цилиндра:
а) окружность;
б) круг;
в) эллипс.
2. Назовите отрезок который является радиусом:
3. Укажите на рисунке образующую цилиндра:
4. Высота цилиндра это:
а) Расстояние между плоскостями его основания;
б) отрезок, который соединяет две любые точки оснований;
в) отрезок, который соединяет центр круга с любой точкой цилиндра.
5. Какая фигура является осью цилиндра?
6. Равносторонний цилиндр – это цилиндр, у которого:
а) образующая равна высоте;
б) радиус основания равен высоте цилиндра;
в) диаметр основания равен высоте цилиндра.
7. Масса тела вычисляется по формуле:
8. Буквой обозначают:
а) площадь;
б) плотность;
в) температуру.
9. Укажите номера правильных выражений:
10. Объем цилиндра вычисляется по формуле:
На экране вы видите кляч к тесту и критерий для самооценки своих знаний.
И поставьте оценку подпишите работы и сдайте.
III. Откроем тетради запишем: число, классная работа, тема урока «Объем цилиндра», и решим задачи.
При монтаже трубопровода по поверхности земли используются трубы размеры которой даны на рисунке. Размеры даны в см. Вычислить металла, который затратят на изготовление этой трубы. Проанализируем условие задачи и составим план решения.
Данное тело можно разбить на несколько цилиндров:
Запишите план решения этой задачи, а дома выполните вычисления.
Текст с рисунком на экране.
(фронтально) составим план решения задачи. Чтобы составить план решения проанализируем условие задачи:
При составлении плана решения задачи наши логические рассуждения запишем в обратном порядке:
Решение. (Самостоятельное решение)
Текст с рисунком на экране.
Для тренировки смекалки представьте себе такое вынужденное положение:
Необходимо, пользуясь только масштабной линейкой определить объем бутылки, которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Выливать и доливать жидкость не разрешается.
V. Подведение итогов.
Давайте подведем итоги урока:
Геометрия. 11 класс
Тела вращения. Цилиндр
Тела вращения. Цилиндр
Необходимо запомнить
На этом уроке нами была раскрыта тема «Тела вращения. Цилиндр».
Цилиндр это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами. Или тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Круги называются основаниями цилиндра; отрезок, перпендикулярный основаниям и соединяющий точки окружностей верхнего и нижнего оснований, называется образующей цилиндра.
Ось вращения называется осью цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.
Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник.
Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:
Площадь полной поверхности – это сумма площади боковой поверхности и двух площадей оснований.
Тела вращения. Цилиндр
Тела вращения. Цилиндр
Вообще, произвольный цилиндр – это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основаниями цилиндра).
Цилиндрическая поверхность – поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.
Основания цилиндра – плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.
Форму таких цилиндров достаточно часто имеют детали различных механизмов.
Цилиндрическая поверхность может быть и незамкнутой:
Призма – это тоже цилиндр (основание – многоугольник).
Тела вращения
Так называемые тела вращения занимали умы учёных ещё в далёкие времена.
Архимед установил, что объем шара равен удвоенному объему конуса с радиусом основания, равным радиусу шара, и высотой, равной диаметру шара, или двум третьим объема цилиндра с таким же радиусом основания и такою же высотой. Эти три тела с данным соотношением называют «телами Архимеда». Он завещал высечь на надгробном камне чертеж к теореме. Римский военачальник Марцелл, поклонник таланта Архимеда, исполнил желание ученого, воздвигнув в его честь гробницу, на которой был изображено:
В работах другого великого учёного Леонарда Эйлера тела вращения занимают далеко не последнее место.
Слово «цилиндр» произошло от греческого слова «кюлиндрос», обозначающего «валик», «каток». В 19 веке в моде были твёрдые шляпы с небольшими полями, которые так и назывались цилиндрами из-за большого сходства с геометрической фигурой цилиндром.
