Тригонометрические функции
Один из важнейших классов элементарных функций.
Иначе cosφ и sinφ могут быть определены как прямоугольные декартовы координаты точки С, лежащей на дуге окружности единичного радиуса, центр которой в начале координат, ось абсцисс направлена по диаметру A’A, а ось ординат — по диаметру B’B.
Так как центральный угол в радианной мере измеряется тем же числом, что и дуга (радиус окружности равен единице), то cosφ и sinφ можно рассматривать как косинус и синус угла. Вообще под аргументом Т. ф. принято понимать число, которое можно рассматривать геометрически как длину дуги или радианную меру угла. Если аргумент Т. ф. рассматривают как угол, то его значение может быть выражено и в градусной мере. Для острых углов φ (0 0, sinφ > 0, из 2-й четверти: cosφ 0, из 3-й четверти: cosφ 0, sinφ
С помощью основных Т. ф. можно определить другие Т. ф.: тангенс tgφ = sinφ /cosφ, котангенс ctgφ = cosφ /sinφ, секанс secφ = 1/cosφ, косеканс cosecφ = 1/sinφ. При этом tgφ и secφ определяются только для таких φ, для которых cosφ ≠ 0; а ctgφ и cosecφ для тех φ, для которых sinφ ≠ 0; функция secφ — чётная, а функции cosecφ, tgφ и ctgφ — нечётные. Эти функции также могут быть представлены геометрически отрезками прямых (рис. 1): tgφ = AL, ctgφ = BK, secφ = OL, cosecφ = OK (для острых углов φ и соответствующими отрезками для других углов). С этим геометрическим представлением связано и происхождение названий Т. ф. Так, латинское tangens означает касательную (tgφ изображается отрезком AL касательной к окружности), secans — секущую (secφ изображается отрезком OL секущей к окружности). Название «синус» (лат. sinus — изгиб, пазуха) представляет собой перевод арабского «джайб», являющегося, по-видимому, искажением санскритского слова «джива» (буквально — тетива лука), которым индийские математики обозначали синус. Названия «косинус», «котангенс», «косеканс» представляют собой сокращения термина complementi sinus (синус дополнения) и ему подобных, выражающих тот факт, что cosφ, ctgφ и cosecφ равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента (дуги или угла), дополнительного к φ (до или, в градусной мере, до 90°):
cosφ = sin ( — φ); ctgφ = tg ( — φ);
Подобно синусу и косинусу, остальные Т. ф. для острых углов могут рассматриваться как отношения сторон прямоугольного треугольника: тангенс и котангенс как отношения катетов (противолежащего к прилежащему и наоборот), а секанс и косеканс как отношения гипотенузы соответственно к прилежащему и противолежащему катетам.
Так как точка С, являющаяся концом дуги φ, служит одновременно концом дуг φ + 2π, φ + 4π, … (2π — длина окружности), то все Т. ф. оказываются периодическими. При этом основным периодом функций sinφ, cosφ, secφ, cosecφ является число 2π (угол в 360°), а основным периодом tgφ и ctgφ — число π (угол в 180°). Графики Т. ф. см. на рис. 2.
Значения Т. ф. одного и того же аргумента связаны между собой рядом соотношений:
sin 2 φ + cos 2 φ = 1,
tg 2 φ + 1 = sec 2 φ; ctg 2 φ + 1 = cosec 2 φ.
Для некоторых значений аргумента значения Т. ф. могут быть получены из геометрических соображений (табл.).
| Аргумент | Тригонометрические функции | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| в градусах | в радианах | sinφ | cosφ | tgφ | ctgφ | secφ | cosecφ |
| 0˚ | 0 | 0 | 1 | 0 | не существует | 1 | не существует |
| 30˚ | π/6 | 1 /2 | √3/2 — 0,8660 | √3/3 — 0,5774 | √3 — 1,7322 | 2√3/3 — 1,1547 | 2 |
| 45˚ | π/4 | √2/2 — 0,7071 | √2/2 — 0,7071 | 1 | 1 | √2 — 1,4142 | √2 — 1,4142 |
| 60˚ | π/3 | √3/2 — 0,8660 | 1 /2 | √3 — 1,7322 | √3/3 — 0,5774 | 2 | 2√3/3 — 1,1547 |
| 90˚ | π/2 | 1 | 0 | не существует | 0 | не существует | 1 |
Для больших значений аргумента можно пользоваться так называемыми формулами приведения, которые позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через
(1)
в первых трёх формулах n может быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n = 2k, а нижний — значению n = 2k + 1; в последних — n может быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при n = 4k + 1, а нижний при n = 4k — 1.
Важнейшими тригонометрическими формулами являются формулы сложения, выражающие Т. ф. суммы или разности значений аргумента через Т. ф. этих значений:
(2)
знаки в левой и правой частях всех формул согласованы, то есть верхнему (нижнему) знаку слева соответствует верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, например:
Часто бывают полезны формулы, выражающие степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, например:
, 
.
Формулы для cos 2 φ и sin 2 φ можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента:
(3)
Суммы или разности Т. ф. различных аргументов могут быть преобразованы в произведения по следующим формулам:
(4)
в первой и последней формулах (4) знаки согласованы. Наоборот, произведения Т. ф. могут быть преобразованы в сумму или разность по формулам:
;
;
.
Производные всех Т. ф. выражаются через Т. ф.:
;
;
;
;
;
.
При интегрировании Т. ф. получаются Т. ф. или их логарифмы:
,
,
,
,
,
.
Интегралы от рациональных комбинаций Т. ф. всегда являются элементарными функциями.
Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды (См. Степенной ряд). При этом функции sinx и cosx представляются рядами, сходящимися для всех значений х:
;
.
Эти ряды можно использовать для получения приближённых выражений sin x и cos x при малых значениях х:
а) 
, б) 
.
Тригонометрическая система 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, …, cosnx, sinnx, …, образует на отрезке [—π, π] ортогональную систему функций (См. Ортогональная система функций), что даёт возможность представления функций в виде тригонометрических рядов (см. Фурье ряд).
Для комплексных значений аргумента значения Т. ф. могут быть определены посредством степенных рядов. Т. ф. комплексного аргумента связаны с показательной функцией (См. Показательная функция) формулой Эйлера:
.
Отсюда можно получить выражения для sin x и cos x через показательные функции чисто мнимого аргумента (которые также называют формулами Эйлера):
, 
Эти формулы также могут быть использованы для определения значений cosz и sinz для комплексного z. Для чисто мнимых значений z = ix (х — действительное) получаем:
, 
,
где ch x и sh x — гиперболические косинус и синус (см. Гиперболические функции). Наоборот,
, 
.
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:
.
Т. ф. комплексного аргумента являются аналитическими функциями, причём sin z и cos z — целые функции (См. Целая функция), а tg z, ctg z, sec z, cosec z — Мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z находятся в точках z = π/2 + πn, а ctg z и cosec z в точках z = πn (n = 0, ± 1, ± 2, …). Аналитическая функция w = sin z осуществляет конформное отображение полуполосы —π 0 плоскости z на плоскость w без отрезка действительной оси между точками —1 и +1. При этом семейства лучей х = x0 и отрезков y = y0 переходят соответственно в семейства софокусных гипербол и эллипсов. Вдвое более узкая полоса —π/2
Уравнение х = sin y определяет у как многозначную функцию от х. Эта функция является обратной по отношению к синусу и обозначается у = Arc sin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к косинусу, тангенсу, котангенсу, секансу и косекансу: Arc cos x, Arc tg x, Arc ctg x, Arc sec x, Arc cosec x. Все эти функции называются обратными тригонометрическими функциями (См. Обратные тригонометрические функции) (в иностранной литературе иногда эти функции обозначаются sin —1 z, cos —1 z и т.д.).
Лит.: Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. 1—2, М., 1966; Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, с. 61—65.
Рис. 1 к ст. Тригонометрические функции.
Рис. 2. Графики тригонометрических функций: 1 — синуса; 2 — косинуса; 3 — тангенса; 4 — котангенса; 5 — секанса; 6 — косеканса.
Тригонометрия простыми словами
Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.
В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Угол поворота
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Синус (sin) угла поворота
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Основные функции тригонометрии
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
История тригонометрических функций
Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.
Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.
Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические как функции числового аргумента.
В1770 г. появилось и удерживается до наших дней название Тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе “Аналитическая тригонометрия”.
Определение и графики тригонометрических функций
Величины углов (аргументы функций): α, x
Тригонометрические функции: sinα, cosα, tanα, cotα, secα, cscα
Множество действительных чисел: R
Координаты точки окружности: x, y
Радиус круга: r
Целые числа: k
1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.
3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.
4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).
5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r
6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0
7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0
8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.
11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1
12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1
13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞ Где применяется тригонометрия
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.
Тригонометрия в астрономии:
Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.
Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.
Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)
Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).
Тригонометрия в физике:
В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.
Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:
Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, r — начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.
Тригонометрия в природе.
Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.
Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.
· Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.
· К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.
Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.
· Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.
· Основной земной ритм – суточный.
· Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.
Тригонометрия в биологии
Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?
· Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией
Связь биоритмов с тригонометрией
· Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза
Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.
При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.
Возникновение музыкальной гармонии
· Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.
· Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…
· диатоническая гамма 2:3:5
Тригонометрия в архитектуре
· Детская школа Гауди в Барселоне
· Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне
· Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе
Значения тригонометрических функций
Ключевые слова: радиан, радианная мера угла, тригонометрическая окружность, знаки тригонометрических функций
Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:
=180рад
Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.
