какие силы действуют на балку

Моментом силы относительно точки O называется результат векторного произведения радиуса-вектора, проведенного из точки O в точку приложения силы, на вектор силы:

Численно момент силы равен: Mo= r⋅ F sinα; r⋅ sinα = h; Mo= Fh.

На рисунке 1.15 видно, что если силу перенести вдоль линии действия в другую точку, то величина и знак момента не изменятся: Mo= r⋅ F sinα = r1⋅ F1 sinα1 = Fh = F1h.

Рисунок 1.15

Можно также сказать, что численно момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника (OAB), основанием которого является сила, а высотой – плечо h (рисунок 1.16): S∆OAB= 1/2 Fh ; Mo(F) = Fh = 2S∆OAB

Рисунок 1.16

18. Плоская система произвольно расположенных сил. Теорема Пуансо о параллельном переносе сил.

Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Дано: сила в точке А.

19. Приведение плоской системы произвольно расположенных сил. Главный вектор, главный момент силы.

Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему сле­дует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произ­вольно выбранную точку — точку приведения. Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил.

Появившиеся при переносе пары называют присоединенными па­рами.

Дана плоская система произвольно расположенных сил.

Переносим все силы в точку О. Получим пучок сил в точке О, который можно заменить одной силой — главным вектором систе­мы.

Образующуюся систему пар сил можно заменить одной эквива­лентной парой — главным моментом системы.

Главный вектор равен геометрической сумме векторов произ­вольной плоской системы сил. Проецируем все силы системы на оси координат и, сложив соответствующие проекции на оси, получим проекции главного вектора.

По величине проекций главного вектора на оси координат нахо­дим модуль главного вектора:

Главный момент системы сил равен алгебраической сумме мо­ментов сил системы относительно точки приведения.

Таким образом, произвольная плоская система сил приводится к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).

20. Условие и уравнения равновесия произвольной плоской системы сил

· При равновесии главный вектор системы равен нулю (Fгл = 0).

Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

, где Fk_x и Fk_y — проекции векторов на оси координат.

· Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:

, где А и В — разные точки приведения.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил:

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и доста­точно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось относительно любой точки в плоскости действия сил равнялась нулю.

22. Балочная система.

Балка— конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами.

Виды нагрузок, действующих на балку.

Действие пар сил заменяется моментом.

Интенсивность- сила, проходящая на единицу длины нагруженного участка.

Виды опор.

· Шарнирно неподвижная опора

· Шарнирно- подвижная опора

· Для определения опорной реакции балки, свободно лежащей на обеих опорах, берут сумму моментов от всех нагрузок, действующих на данную балку, относительно второй опоры, и делят эту сумму моментов на длину пролета. Реакцию на другой опоре возможно, определить так же, как разность между суммой всей нагрузки в пролете и ранее вычисленной реакцией на первой опоре.

· Для вычисления моментов от сплошной нагрузки, распределенной равномерно на участке длины пролета или в виде треугольника, трапеции и т. п., последняя заменяется равной по величине сосредоточенной силой, приложенной в центре тяжести заменяемой сплошной нагрузки.

· Для определения изгибающего момента в каком-либо сечении балки необходимо вычислить относительно этого сечения сумму моментов всех сил, расположенных на балке справа или слева от рассматриваемого сечения.

· Для определения перерезывающей силы в каком-либо сечении балки необходимо взять сумму проекций всех сил, расположенных справа или слева от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную балке в данном сечении.

24. Центр тяжести.

Сила тяжести- равнодействующая сил притяжения к земле, она распределена по всему объему тела.

Силой притяжения, приложенной к участкам твердого тела, образует систему сил, линии действия которых сходятся в центре земли.

Центр параллельных сил– точка С приложения равнодействующей системы параллельных сил. Положение центра параллельных сил – точки С, определяется координатами этой точки С.

25.Центр тяжести плоских фигур. Статический момент площади плоской фигуры.

1.Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).

2.Статический момент площади плоской фигуры равен произведению площади фигуры на алгебраическое расстояние от центра тяжести до этой оси. Единица измерения статического момента [см3].

Вывод: статический момент площади плоской фигуры относительно оси, проходящей через тяжести фигуры, равен нулю.

28. Основные понятия кинематики.

· Траектория— линия, которую отчерчивает материальная точка при движении в пространстве. Траектория может быть прямой, кривой, плоской и пространственной.

· Расстояние— определяет положение точки на ее траектории и отсчитывается от некоторого начала отсчета, может быть положительной и отрицательной величиной.

· Путь— измеряется вдоль траектории в направление движения, путь всегда положителен.

· Скорость— векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории. Скорость- вектор, в любой момент направленный по касательной к траектории в сторону движения. За ед. принимают 1км\час=1000\3600 м\с

· Ускорение точки— векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, м\с^2

Ускорения раскладывают на две составляющие:

-Косательное(тангенциальное)- характерезует изменение скорости по величине и всегда направленно по касательной к траектории. At=v

· Нормальное ускорение— характеризует изменение скорости по направлению( центростремительной). Нормальное ускорение направленно перпендикулярно скорости в центре кривизны траектории. An=V^2\R.

· Полное ускорение.

29. Способы задания движения точки

· При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

· При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t.

Источник

Расчет балки. Общие положения

А теперь рассмотрим каждый из этих этапов более подробно.

1 этап. Определение максимальных напряжений

1.1. Определение видов и количества опор

Опоры у балки могут быть разные: шарнирные и(или) жесткие.

Рисунок 219.2.

Например, у балки, показанной на рисунке 219.2 имеется две вертикальных шарнирных опоры, показанные фиолетовым цветом и одна горизонтальная шарнирная опора, показанная синим цветом.

Как правило опоры обозначаются латинскими литерами А, В, С, D и т.д.

1.2. Определение количества и длины пролетов

Балки могут иметь не только один пролет, но два, три и сколь угодно много. Количество пролетов n_п определить не сложно:

1.3. Система координат

При расчете балок используется стандартная система координат с осями х, у и z. Для упрощения расчетов балка рассматривается как стержень, нейтральная ось которого совпадает с осью координат х. При этом начало координат как правило совпадает с началом балки. Соответственно длина балки измеряется по оси х.

Геометрические размеры поперечных сечений балки, т.е. размеры относительно осей y и z, на первом этапе расчетов никакого значения не имеют. Более того именно эти параметры и нужно определить на втором этапе расчета балки на действующие нагрузки.

Таким образом на первом этапе балка рассматривается как некий стержень, размеры сечения которого пренебрежимо малы по сравнению с длиной.

1.4. Определение действующих нагрузок

Все нагрузки, действующие на балку, можно представить в виде:

1.4.1. Сосредоточенных сил

Могут обозначаться как Q, P, N и др. Измеряются в Ньютонах (Н) или килограмм-силах (кгс).

1.4.2. Нагрузок, распределенных по некоторой части длины или по всей длине балки

Как правило такие нагрузки обозначаются литерой q. Измеряются в Н/м или кгс/м.

В свою очередь распределенные нагрузки могут быть равномерно и неравномерно распределенными.

График, показывающий изменение значения распределенной нагрузки по длине балки, называется эпюрой нагрузки. Изменение значения распределенной нагрузки может описываться различными уравнениями. Например, для балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра нагрузки имеет вид прямоугольника, а уравнение, описывающее изменение значений нагрузки, имеет следующий вид:

q = const (517.2)

Если одна или несколько нагрузок направлены не перпендикулярно оси х, а под некоторым углом а, то для дальнейших расчетов такие нагрузки разбиваются на вертикальную и горизонтальную составляющие.

Вертикальные составляющие используются для расчета балки на поперечный изгиб. Горизонтальные составляющие используются для определения горизонтальных опорных реакций, а также при необходимости для расчетов на устойчивость сжатого стержня.

Определить значение вертикальных и горизонтальных составляющих нагрузки можно по следующим формулам:

Q_в = Qsina (517.3)

Q_г = Qcosa (517.4)

1.4.3. Моментов

Внешний момент, действующий в любой точке по оси х, рассматривается как пара сил, равных по значению и направленных в противоположные стороны. Таким образом значение внешнего момента не зависит от расстояния до какой либо точки по оси х, а только от расстояния между векторами двух противоположно направленных сил.

Примечание: иногда при расчете балок бывает известен угол поворота или перемещение поперечного сечения. По большому счету ни угол поворота, ни перемещение не являются нагрузками, а есть результат воздействия нагрузок. Поэтому в таких случаях перемещения или углы поворота поперечных сечений заменяются силами или моментами, которые вызывают эквивалентное рассматриваемому перемещение или угол поворота.

1.5. Степень статической неопределимости

Все балки с количеством пролетов более одного, являются статически неопределимыми. Но даже и однопролетные балки могут быть статически неопределимыми. Степень статической неопределимости s для балок с шарнирными опорами определяется следующим образом:

Каждая жесткая заделка добавляет одну степень статической неопределимости. При наличии жестких заделок статическая определимость s определяется следующим образом:

Рисунок 145.3.1

1.6. Замена опор опорными реакциями

На этом этапе расчета опоры, имеющиеся у балки, заменяются реактивными силами, получившими название «опорные реакции». Эти опорные реакции также являются внешними силами для балки. Главное отличие опорных реакций от нагрузок в том, что изначально опорные реакции в отличие от нагрузок не известны и их нужно вычислить.

1.7. Статическое равновесие системы

Из этого следуют первые два уравнения статического равновесия системы:

Третье уравнение статического равновесия применимо только для статически определимых балок с шарнирными опорами. Смысл его сводится к тому, что шарнирные опоры не препятствуют повороту стержня на опоре, а значит момент на такой опоре будет равен нулю, если балка бесконсольная. Если на консоль действует нагрузка, то момент на опоре определяется, как для обычной консольной балки.

Для бесконсольной балки третье уравнение статического равновесия будет иметь вид:

Если нагрузка распределена по длине балки, то сначала определяется суммарная нагрузка (площадь грузовой эпюры), при этом плечо действия равно расстоянию от центра тяжести эпюры нагрузки. Другими словами, сначала распределенная нагрузка приводится к сосредоточенной силе и эта условно сосредоточенная сила действует в центре тяжести эпюры нагрузки.

1.8. Определение опорных реакций

При расчете статически неопределимых балок сначала определяются значения опорных реакций на промежуточных шарнирных опорах, если используется метод нулевых перемещений на опорах (метод сил) или моменты на промежуточных шарнирных или крайних жестких опорах, если используется метод определения углов поворота на опорах (уравнения трех моментов).

При использовании уравнений трех моментов значение реакции на крайней опоре А определяется, исходя из условия:

1.9. Построение эпюр

После того, как определены значения опорных реакций, можно переходить непосредственно к определению напряжений в поперечных сечениях балки. Для этого строятся эпюры поперечных и продольных сил, эпюра моментов, углов поворота поперечных сечений и эпюра перемещений (прогибов).

Затем по эпюре моментов определяется самое нагруженное поперечное сечение балки, в этой точке на эпюре моментов максимальное значение, отрицательное или положительное, в данном случае не имеет значения. Затем для этого сечения определяются значения поперечных и нормальных сил по соответствующим эпюрам.

2 этап. Подбор сечения

Так как разные материалы имеют разные значения расчетных сопротивлений, то соответственно и требуемые параметры сечения для балок из различных материалов будут разными.

2.1. Определение материала балки и расчетного сопротивления материала

После того, как выбран материал для балки, определяются расчетные сопротивления материала изгибу R_и, сжатию R_c, растяжению R_р и т.п. по действующим нормативным документам или по данным производителя, если балка будет из стали.

Для балок из разнородных материалов сначала определяются параметры приведенного сечения. Суть приведенного сечения состоит в том, что рассматривается некое условное сечение материала обладающего равным сопротивлением, при этом ширина сечения для материала, обладающего большим расчетным сопротивлением увеличивается во столько раз, во сколько расчетное сопротивление одного материала больше расчетного сопротивления другого материала. Поэтому такое сечение и называется приведенным. Другими словами, если бы балка изготавливалась из одного материала, то именно так и должно было бы выглядеть поперечное сечение.

Для железобетонных балок, являющихся также балками из разнородных материалов, как правило в процессе расчета требуется дополнительно определить сечение арматуры. Возможные варианты расчета железобетонных балок рассмотрены отдельно.

2.2. Определение требуемого момента сопротивления

Требуемый момент сопротивления определяется, исходя из следующего условия:

2.3. Определение геометрических параметров сечения

2.3 Определение геометрических параметров сечения

Поперечное сечение балки может быть каким угодно: круглым, квадратным, прямоугольным, в виде швеллера, двутавра, круглой или прямоугольной трубы и т.д.

Как известно наиболее оптимальными являются сечения в виде двутавра, швеллера или квадратной трубы, именно такие сечения и принимаются для стальных балок.

Для железобетонных балок наиболее характерны прямоугольное и тавровое сечения. Впрочем, как уже говорилось, расчет железобетонных балок отличается от расчета обычных балок.

Для балок прямоугольного сечения требуемая высота сечения определяется по формуле:

(147.4)

2.4. Определение прогиба

Так как для однопролетных балках на шарнирных опорах значение прогиба часто является определяющим, то я рекомендую определять прогиб сразу после определения параметров сечения.

Формулы для определения прогиба и углов поворота сечения на опорах зависят от вида приложенной к балке нагрузки. Значение модуля упругости E для выбранного материала балки определяется по нормативным документам, здесь можно посмотреть примерные значения модулей упругости для некоторых строительных материалов. Значение момента инерции I определяется в зависимости от геометрической формы сечения или по сортаменту для стальных балок из прокатного профиля.

Если прогиб f, определенный по одной из вышеуказанных формул, меньше допустимого нормативными документами, в частности СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия», то можно продолжать расчеты. Если прогиб больше допустимого, то сначала следует подобрать сечение, обеспечивающее требования по прогибу. Например для балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка, значение момента инерции можно определить по следующей формуле:

I = 5ql 4 /(384Ef) (517.9)

2.5. Проверка на прочность опорных участков балки

Любая балка в отличие от показанной на рисунке 219.2 модели имеет опорные участки. На этих опорных участках действуют нормальные напряжения в сечениях, параллельных нейтральной оси балки. В общем случае (если балка прямоугольная и напряжения на опорном участке равномерно изменяются от максимума до нуля) эти напряжения определяются по следующей формуле:

2.5.1. Проверка на прочность в местах действия сосредоточенной нагрузки

Так как на балку может действовать не только распределенная нагрузка, но и одна или несколько сосредоточенных нагрузок, то места действия сосредоточенных нагрузок также следует проверить на прочность.

В данном случае формула для определения нормальных напряжений будет будет почти такой же как (517.10), вот только значение коэффициента, учитывающего неравномерность распределения нагрузки, будет зависеть от того, как именно сосредоточенная нагрузка передается рассчитываемой балке.

Например, если рассчитываемая балка будет находиться посредине помещения и на нее сверху будет опираться второстепенная балка, то значение коэффициента будет равно 1.

2.6. Проверка по касательным напряжениям

В поперечных сечениях, соответствующих опорным точкам балки, а также в сечениях, параллельных нейтральной оси балки, будут действовать касательные напряжения, которые не должны превышать расчетного сопротивления R_s сдвигу или сколу:

Подобная проверка особенно важна для стальных тонкостенных балок.

2.7. Определение максимальных напряжений

Если в рассматриваемой точке (точнее на грани параллелепипеда с рассматриваемой точкой на одной из граней) действуют и нормальные и касательные напряжения, то возникает плоское напряженное состояние.

В этом случае необходимо определить максимальное нормальное напряжение, действующее в этой точке, другими словами определить главные площадки напряжений. Для этого используется одна из теорий прочности. Так, согласно третьей теории прочности:

σ_пр =(σ 2 +4т 2 ) 0.5 ≤ R (517.11)

Если на 4 из 6 главных площадок напряжений в области рассматриваемой точки действуют нормальные и касательные напряжения (например в местах приложения сосредоточенных нагрузок или на промежуточных опорах многопролетных балок), то значение максимальных нормальных напряжений составит:

Эта формула следует из общих положений теории сопротивления материалов, однако для стальных балок нормативные документы требуют проводить расчет по несколько другой формуле.

Кроме того в некоторых случаях, если отсутствуют опорные связи из плоскости балки (что в малоэтажном строительстве встречается крайне редко) тонкостенные стальные балки открытого профиля, а также деревянные балки любого сечения следует проверить на устойчивость в сжатой зоне сечения, но это уже совсем другая история.

Вот собственно и все, что имеет отношение к расчету балок.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Источник