Определение баллистико-временных характеристик движения центра масс парашютиста, десантированного с самолёта
Введение
Для определения баллистико-временных характеристик движения центра масс парашютиста приходится выбирать упрощенную математическую модель, вполне доступную для аналитического исследования и в то же время сохраняющую наиболее характерные черты исходного объекта.
Для построения упрощённых математических моделей движения парашютиста проводится анализ, определение, систематизация постоянных и временных параметров.
Регулярных и достаточно обоснованных методов построения нелинейных математических моделей в настоящее время не существует, однако для решения частных задач, при правильном составлении исходных систем нелинейных дифференциальных уравнений, численные методы их решения могут давать вполне адекватные результаты.
Целью настоящей публикации является составление и численное решение систем дифференциальных уравнений, описывающих все этапы движения парашютиста, десантируемого с самолёта с учётом влияния изменения с высотой и температурой массовой плотности воздуха.
Баллистико-временные характеристики движения парашютиста
К постоянным и ограничено изменяемым параметрам относятся:
Н – высота выброса парашютиста;
V0 – скорость самолета;
k – вес, рост парашютиста;
g – ускорение свободного падения;
ρ – плотность воздуха;
Т – температура воздуха.
К временным (переменным) параметрам относятся:
tn – время десантирования,
w – скорость ветра;
V – скорость парашютиста;
u – скорость восходящих (нисходящих) потоков;
d – снос (расстояние от проекции на землю точки выброса до точки приземления);
С – коэффициент лобового сопротивления десантируемого объекта;
F – мидель десантируемого объекта.
Этапы прыжка
Первый этап –свободное падение после отделения от самолета:
Второй этап – снижение на стабилизирующем парашюте:
Главное свойство стабилизирующего парашюта – стабилизация парашютиста в положении, наиболее удобном для работы основного парашюта.
Третий этап – наполнение купола основного парашюта:
Четвертый этап – снижение на раскрытом парашюте:
Составление системы дифференциальных уравнений для всех этапов прыжка с парашютом
Выберем неподвижную систему координат OXY с центром в точке выброса О. Ось ОX совпадает с направлением горизонтальной составляющей скорости самолета. Oсь OY направлена вертикально вверх в направлении, противоположном вертикальной скорости падения парашютиста.
Будем предполагать, что движение парашютиста плоское, и происходит в плоскости OXY. Эту модель прыжка можно рассматривать как модель прыжка в штилевую погоду без учёта влияния ветра.
Считаем, что на парашютиста, кроме веса, действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная квадрату скорости парашютиста:
,
где: , — плотность воздуха, С – коэффициент лобового сопротивления, F – мидель тела.
С увеличением высоты температура воздуха меняется:
,
где K/м; – температура на уровне моря; y – высота в м; – плотность воздуха при y=0;.
В практике расчетов за величину миделя принимают квадрат роста; значение С находят из таблицы [2]:
Через θ обозначен угол наклона траектории. При сделанных предположениях для компонент , вектора скорости V имеем:
Поделив на m левые и правые части уравнений полученной системы и обозначив через r, получим:
(1)
Запишем уравнения движения парашютиста в виде системы дифференциальных уравнений относительно функций V,θ,y(t),x(t).
, ,
и дифференцируя по времени соотношение: , с учётом системы уравнений (1) получим:
, .
Таким образом, при начальных условиях:
имеем следующую систему дифференциальных уравнений:
Численное решение системы дифференциальных уравнений (2) средствами Python
Для решения (2) перепишем её в следующем виде, введя управляемые по времени и плотности воздуха силы сопротивления стабилизирующего
парашютов соответственно, умноженные на функции управления по времени ks(t) и ko(t):
,
где: –время свободного падения парашютиста; – время работы стабилизационного парашюта до открытия основного.
(3)
Учёт разрежённости воздуха привёл к увеличению скорости свободного падения и изменил характер траектории на этом участке.
Указанную задачу можно решить и при помощи системы из двух дифференциальных уравнений, которые приводятся ниже (без учёта парашютов и изменения плотности воздуха):
Какие силы действуют на парашютиста
Допустим, что парашютист совершает затяжной прыжок (рис. 3.28). Пусть масса парашютиста 
коэффициент сопротивления воздуха при движении парашютиста с нераскрытым парашютом 
а с раскрытым 
Для простоты будем считать начальную скорость парашютиста равной нулю. Проследим, как будут меняться ускорение и скорость парашютиста до раскрытия парашюта.
Движение парашютиста до раскрытия парашюта будет неравномерным. Во время движения на него действуют две силы (рис. 3.29): сила тяжести 
и сила сопротивления воздуха 
Будем считать положительным направление вниз. Запишем для этого случая уравнение второго закона Ньютона:
В этом уравнении два неизвестных: 
. Необходимым дополнительным уравнением будет уравнение, связывающее силу сопротивления воздуха со скоростью:
Подставляя значение 
из этого уравнения в уравнение второго закона Ньютона, получим:
Воспользуемся этим уравнением и проследим за изменением ускорения. По условию в начальный момент скорость 
следовательно, и сила сопротивления воздуха равна нулю. Поэтому ускорение 
. В первые моменты движения скорость быстро нарастает. Вместе с ней растет сила сопротивления воздуха, разность сил 
убывает и ускорение начинает уменьшаться. График изменения ускорения во времени представлен на рис. 3.30, а.
Так как ускорение а становится все меньше, то в последующие промежутки времени рост скорости и изменение силы сопротивления все более замедляются.
Как видно из уравнения, можно указать такую предельную скорость упр, при которой сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести, а ускорение обратится в нуль. Значение этой скорости определится из уравнения
Используя график (рис. 3.30, б), можно проследить за изменением скорости. Вначале скорость быстро возрастает. Затем рост ее замедляется, и она постепенно приближается к значению упр, равному скорости установившегося равномерного движения.
Подводя итоги, можно сказать, что сначала движение парашютиста было ускоренным, а потом равномерным. При этом ускорение его уменьшилось от значения 
до нуля, а скорость увеличивалась от нуля до значения 
соответствующего установившемуся движению.
С какой бы достаточно большой высоты ни начал падение парашютист, он с нераскрытым парашютом подходил бы к Земле с постоянной скоростью, равной примерно 
Таким образом, действие сил сопротивления воздуха совершенно меняет всю картину свободного падения тел: при падении в воздухе все тела движутся ускоренно только в начальный, не очень большой промежуток времени, а затем их движение становится равномерным. Такую картину возникновения стационарного равномерного движения можно увидеть, наблюдая за падением шарика в сосуде с какой-либо вязкой жидкостью (рис. 3.31).
А теперь рассмотрим, что же происходит при раскрытии парашюта.
Во время раскрытия парашюта резко возрастает сила сопротивления воздуха, и коэффициент сопротивления становится равным Сила сопротивления становится больше силы тяжести (рис. 3.32). Возникают ускорения, направленные вверх. Движение становится замедленным, начиная с момента полного раскрытия парашюта.
Повторяя рассуждения, проведенные в начале решения задачи, можно установить, что возникающее при этом отрицательное ускорение также будет убывать до нуля, а скорость уменьшаться до нового стационарного значения, равного
Полные графики изменения ускорения и скорости для всего времени падения парашютиста представлены на рис. 3.33.
(кликните для просмотра скана)
Парашют рассчитывается так, чтобы предельная скорость спуска с раскрытым парашютом не превышала 5-7 м/с. С момента раскрытия парашюта до установления равномерного движения парашютист успевает пролететь около 100-150 м, поэтому прыжки с таких малых высот опасны.
