Какие силы называются активными
Теоретическая механика – это наука о механическом движении твердых материальных тел и их взаимодействии. Механическое движение понимается как перемещение тел в пространстве и во времени по отношению к другим телам, в частности, к Земле.
Статика изучает условия равновесия тел под действием сил.
Кинематика рассматривает движение тел как перемещение в пространстве; характеристики тел и причины, вызывающие движение, не рассматриваются.
Динамика изучает движение тел под действием сил.
Сила – это мера механического взаимодействия материальных тел между собой. Взаимодействие характеризуется величиной и направлением, т. е. сила – это величина векторная, характеризующаяся точкой приложения, направлением (линией действия), величиной (модулем).
Силы, действующие на тело (или систему сил), делят на внешние и внутренние. Внешние силы бывают активные и реактивные. Активные силы вызывают перемещение тела, реактивные стремятся противодействовать перемещению тела под действием внешних сил.
Системой сил называют совокупность сил, действующих на тело.
Эквивалентная система сил – система сил, действующая так же, как заданная.
Уравновешенной (эквивалентной нулю) системой сил называется такая система, которая, будучи приложенной к телу, не изменяет его состояния.
Систему сил, действующих на тело, можно заменить одной равнодействующей, действующей так, как система сил.
Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, называемых аксиомами.
Первая аксиома. Под действием уравновешивающей системы сил абсолютно твердое тело или материальная точка находятся в равновесии или движутся равномерно и прямолинейно (закон инерции).
Вторая аксиома. Две силы, равные по модулю и направленные по одной прямой в разные стороны, уравновешиваются.
Третья аксиома. Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешивающую систему сил (принцип отбрасывания системы сил, эквивалентной нулю).
Четвертая аксиома (правило параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена к той же точке и является диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
Пятая аксиома. При взаимодействии тел всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
Следствие из второй и третьей аксиом. Силу, действующую на твердое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия.
2. Связи и реакции связей
Все тела делятся на свободные и связанные.
Свободные тела – это тела, перемещение которых не ограничено.
Связанные тела – это тела, перемещение которых ограничено другими телами.
Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.
Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей. Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.
Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).
Связи делятся на несколько типов.
Связь – гладкая опора (без трения) – реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре.
Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) – груз подвешен на двух нитях. Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.
Жесткий стержень – стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.
Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент.
Шарнирная опора. Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.
Подвижный шарнир. Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки). Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, так как не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.
Неподвижный шарнир. Точка крепления перемещаться не может.
Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее изображают в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной (Rx, Ry).
Защемление, или «заделка». Любые перемещения точки крепления невозможны.
Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент Мz, препятствующий повороту.
Реактивная сила представляется в виде двух составляющих вдоль осей координат:
3. Определение равнодействующей геометрическим способом
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся.
Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил (F1; F2; F3;…; Fn), где n – число сил, входящих в систему.
В соответствии со следствиями из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными к одной точке.
Используя свойство векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил.
При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.
Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называется геометрическим.
Многоугольник сил строится в следующем порядке.
1. Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора совпал с началом последующего.
2. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.
3. При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил. При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.
Если в системе три силы, образуется треугольник сил.
Геометрическим способом пользуются, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считается абсолютно твердым (отвердевшим).
Задачи решаются в следующем порядке.
1. Определить возможное направление реакций связей.
2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил, в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура).
3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.
4. Для уточнения определить величины векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зависимостей.
4. Определение равнодействующей аналитическим способом
Проекция сил на ось определяется отрезком оси, отсекаемой перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора.
Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением сил. Проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси.
Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси.
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определим равнодействующую аналитическим способом. Выберем систему координат, определим проекции всех заданных векторов на эти оси. Складываем проекции всех векторов на оси х и у.
Модуль (величину) равнодействующей можно определить по известным проекциям:
Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействующими с осями координат:
Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.
Система уравнений равновесия плоской системы сходящихся сил:
При решении задач координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. При этом желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.
5. Пара сил. Момент силы
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.
Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, так как они приложены к двум точкам.
Действие этих сил на тело не может быть заменено одной равнодействующей силой.
Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил плеча пары.
Активные силы и реакции связей
Условимся считать тело свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, связями. В точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. При перечислении всех сил, действующих на данное тело, необходимо учитывать и эти контактные силы (реакции связей).
В механике принимают следующее положение, называемое иногда принципом освобождаемости: всякое несвободное тело только тогда можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу.
В статике полностью определить реакции связей можно с помощью условий или уравнений равновесия тела, но направления их во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств связей. В качестве простейшего примера рассмотрим тело, точка М которого соединена с неподвижной точкой О при помощи стержня, весом которого можно пренебречь; концы стержня имеют шарниры, допускающие свободу вращения. В данном случае для тела связью служит стержень ОМ. Cтеснение свободы перемещения точки М выражается в том, что она вынуждена находиться на неизменном удалении от точки О. Но, как мы видели выше, сила действия на такой стержень должна быть направлена по прямой ОМ. Согласно аксиоме 4 сила противодействия стержня (реакция) R должна быть направлена по той же прямой. Таким образом, направление реакции стержня совпадает с прямой ОМ. (В случае криволинейного невесомого стержня – по прямой, соединяющей концы стержня).
Аналогично сила реакции гибкой нерастяжимой нити должна быть направлена вдоль нити. На рис. Показано тело, висящее на двух нитях и реакции нитей R1 и R2.
В общем случае силы, действующие на несвободное тело (или на несвободную материальную точку), можно разделить на две категории. Одну категорию образуют силы, не зависящие от связей, а другую категорию – реакции связей. При этом реакции связей, в сущности, носят пассивный характер. Они возникают лишь постольку, поскольку на тело действуют те или иные силы первой категории. Поэтому силы, не зависящие от связей, называют активными силами (иногда они называются заданными), а реакции связей – пассивными силами.
На рис. 1.16 вверху показаны две равные по модулю активные силы F1иF2, растягивающие стержень АВ, внизу показаны реакции R1 и R2растянутого стержня. На рис. показаны активные силыF1иF2, сжимающие стержень, внизу показаны реакции R1 и R2сжатого стержня.
Рассмотрим еще некоторые типичные виды связей и укажем возможные направления их реакций. Модули реакций определяются активными силами и не могут быть найдены, пока последние не заданы определенным образом. При этом мы будем пользоваться некоторыми упрощенными представлениями, схематизирующими действительные свойства реальных связей.
1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность, то точка контакта тела с поверхностью может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться вдоль нормали к поверхности. Реакция идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям.
Если твердое тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие, то реакция направлена по нормали к поверхности самого тела.
Если твердое тело упирается острием в угол, то связь препятствует перемещению острия, как по горизонтали, так и по вертикали. Соответственно реакция R угла может быть представлена двумя составляющими – горизонтальной Rх и вертикальной Rу, величины и направления которых, в конечном счете, определяются заданными силами.
2. Сферическим шарниром называется устройство, которое делает неподвижной точку О рассматриваемого тела (центр шарнира). Если сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция сферического шарнира имеет направление нормали к этой поверхности. Поэтому единственное, что известно относительно реакции, – это то, что она проходит через центр шарнира О. Направление реакции может быть любым и определяется в каждом конкретном случае в зависимости от заданных сил и общей схемы закрепления тела. Точно также нельзя заранее определить 
направление реакции подпятника.
3. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора. Реакция такой опоры проходит через ее ось, причем направление реакции опоры может быть любым (в плоскости, перпендикулярной оси опоры).
4. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора препятствует перемещению закрепленной точки тела по перпендикуляру к плоскости опоры. Реакция такой опоры также имеет направление этого перпендикуляра.
5. Подпятник. Подпятник представляет собой соединение цилиндрического шарнира с опорной плоскостью. Такая связь позволяет вращаться валу вокруг его оси и перемещаться вдоль нее, но только в одном направлении.
Реакция подпятника складывается из реакции цилиндрического подшипника, лежащего в плоскости, перпендикулярной его оси (в общем случае она может быть разложена на составляющие R1 и R2), и нормальной реакции опорной плоскости R3.
На одно и то же тело может быть наложено одновременно несколько связей, возможно, различного типа. Три примера такого рода представлены на рис. На рис. изображены соответствующие системы сил. В соответствии с принципом освобождаемости, связи отброшены и заменены реакциями.
6. Реакции стержней направлены вдоль стержней (верхняя схема); при этом предполагается, что стержни невесомы и соединены с телом и опорами с помощью шарниров.
Реакции идеально гладких опорных поверхностей направлены по нормали к этим поверхностям (две нижние схемы). Кроме того, реакция цилиндрического подшипника в точке А (средняя схема) должна на основании теоремы о трех непараллельных силах проходить через точку пересечения линий действия сил Fи R2 –точку С.
7. Реакция R1 идеально гибкой нерастяжимой и невесомой нити направлена вдоль нити (нижняя схема).
В механических системах, образованных путем сочленения нескольких твердых тел, наряду с внешними связями (опорами) имеются внутренние связи. В этих случаях иногда мысленно расчленяют систему и заменяют отброшенные не только внешние, но и внутренние связи соответствующими реакциями. Пример такого рода, в котором два тела соединены шарниром С, представлен на рис. Отметим, что силыR2и R3 равны друг другу по модулю, но противоположно направлены (по аксиоме 4).
Отметим, что силы взаимодействия между отдельными точками данного тела называются внутренними, а силы, действующие на данное тело и вызванные другими телами, называются внешними. Из этого следует, что реакции связей являются для данного тела внешними силами.
Пособие для подготовки к зачету «Основы теоретической механики»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ СПО
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Учебно-методическое пособие для подготовки
ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКА
Данное методическое пособие представляет краткий сборник лекций по предмету «Элементы технической механики » студентов НПО профессии 30.20 «Автомеханик» и является дополнительным пособием для подготовки студентов к зачету и при выполнении расчетно-графических задач. Методическое пособие разработано в соответствии с рабочей программой по дисциплине, составленной на основе требований Государственного стандарта.
Рецензенты: профессор кафедры механизации
доктор технических наук
доцент кафедры «Транспортных машин» ВГАСУ,
кандидат технических наук
Печатается по решению методического совета Воронежского государственного промышленно-технологического колледжа
Методическое пособие предназначено для студентов второго курса НПО специальности 30.20 «Автомеханик». Пособие составлено на основе образовательных стандартов и рабочей программы предмета «Элементы технической механики» при изучении курса объёмом 52 аудиторных часа. Оно является первой частью трех общих разделов курса и рассматривает вопросы
«Теоретической механики ». Пособие состоит из следующих разделов:
В пособии в краткой форме изложены основные теоретические вопросы, определения, формулы, которые рассматриваются на занятиях со студентами.
Материал построен таким образом, что по мере изучения основных формул и понятий каждой темы студенту предлагается ответить на вопросы. Рассматриваемые вопросы относятся к зачетному материалу, на них студент будет отвечать по окончанию изучения всего курса. Полный список вопросов для подготовки к зачету, и дополнительная литература предложена в конце пособия.
В методическом пособии намеренно опущены все поясняющие схемы и графические рисунки, так как они подробно рассматриваются на уроках предмета «Элементы технической механики» и в процессе решения расчетно-графических задач.
Основные понятия и аксиомы статики
Что изучает теоретическая механика?
Встречающиеся в природе материальные тела обладают способностью под действием приложенных сил в той или иной мере деформироваться, т.е. менять форму вследствие изменения взаимного расположения образующих их частиц. Однако у большинства твердых тел (металлов, дерева) в нормальных условиях эти деформации пренебрежимо малы. Учет их приобретает практическое значение только при рассмотрении вопроса прочности соответствующих конструкций. Эти вопросы изучаются в разд. «Сопротивление материалов». При рассмотрении же общих условий равновесия деформациями большинства твердых тел в первом приближении можно пренебречь. В связи с этим в механике вводится понятие абсолютно твердого тела.
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.
В статике мы будем рассматривать все тела как абсолютно твердые, в дальнейшем для краткости называя их твердыми телами или просто телами.
Другим основным понятием в статике является понятие силы.
Силой называется векторная величина, представляющая собой меру механического воздействия одних тел на другие.
Что называется абсолютно твердым телом?
Механическим воздействием называется такое взаимодействие материальных тел, в результате которого с течением времени происходит изменение взаимного положения этих тел в пространстве (механическое движение) или изменение взаимного положения частиц этих тел (деформация). Например, при штамповке деталей верхний штамп, падая, останавливается в результате взаимодействия с нижним штампом. Если же между ними положить заготовку, то в результате такого же взаимодействия происходит деформация заготовки.
Итак, сила Р как векторная величина имеет модуль Р, точку приложения А и направление (линию действия силы)
Проекции вектора силы Р на оси координат определяются следующим образом:
Введем следующие определения:
Материальной точкой называется абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь, мысленно сосредоточив всю массу этого тела в точке. Например, движение спутника вокруг планеты можно рассматривать как движение материальной точки, так как размеры спутника ничтожно малы по сравнению с размерами планеты.
Системой сил называется совокупность нескольких сил, действующих на данное тело.
Две системы называются эквивалентными, если, действуя на одно и то же твердое тело, они производят одинаковое механическое воздействие.
Силы, действующие на частицы тела со стороны других материальных тел, называются внешними силами. Силы, действующие на частицы данного тела со стороны других частиц этого же тела, называются внутренними силами.
Если под действием данной системы сил свободное тело может находиться в покое, то такая система сил называется уравновешенной или системой, эквивалентной нулю.
Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке, называется сосредоточенной силой. Силу, действующую на определенную часть поверхности тела, называют распределенной.
Какие системы сил называются эквивалентными, и как они связаны с внешними и внутренними силами?
Все теоремы и уравнения статики базируются на нескольких исходных положениях, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами. Аксиомы статики представляют собой результат знаний, накопленных человечеством, и отражают объективные процессы. Справедливость этих аксиом подтверждается многочисленными опытами и наблюдениями.
Аксиома 1. Две силы, действующие на свободное абсолютно твердое тело, находятся в равновесии тогда и только тогда, когда они равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.
Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Следствие из аксиом 1 и 2: точку приложения силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, являющуюся диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
Из аксиомы 3 следует, что равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, равна их геометрической сумме и приложена в той же точке.
Аксиома 4. Два материальных тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположно направленными. Такая система сил не является уравновешенной, так как силы приложены к разным телам.
Аксиома 5. Если деформируемое тело находится в равновесии под действием данной системы сил, то равновесие не нарушится, если тела станут абсолютно твердыми. Эта аксиома называется аксиомой затвердевания.
Из аксиомы 5 следует, что это условие, являясь необходимым и для абсолютно твердого тела и для деформируемого, не является для последнего достаточным.
Следствие из каких аксиом характеризует перенос сил вдоль линии её действия?
Связи и их реакции
Тело, ограничивающее свободу движения твердого тела, является по отношению к нему связью. Если приложенные к телу силы будут стремиться сдвинуть его по тому или иному направлению, а связь препятствует такому перемещению, то тело будет воздействовать на связь с силой давления на связь. По аксиоме 4 статики связь будет действовать на тело с такой же силой, но противоположно направленной. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тому или иному перемещению, называется силой реакции связи.
Из изложенного следует принцип освобождаемости твердого тела от связи, или аксиома связи: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно отбросить наложенные на тело связи и приложить вместо них силы реакции этих связей.
В чем состоит принцип освобождаемости твердого тела от связи?
Силы, действующие на тела, будем разделять на заданные, или активные силы, и реакции связей, или пассивные силы.
Активные силы отличаются тем, что модуль и направление каждой силы наперед известны и не зависят от действия других приложенных к данному телу сил. Примерами активных сил могут служить мускульная сила человека, сила тяжести, сила сжатой пружины.
Реакции связи на покоящееся тело возникают лишь в тех случаях, когда это тело под действием активных сил оказывает давление на связь, поэтому они и называются пассивными силами.
По аксиоме связи реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Следовательно, если известно, в каком направлении связь препятствует перемещению твердого тела, то известно и направление реакции связи.
Чем отличаются активные силы от пассивных?
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей.
2. Гладкая опора. Связь, осуществленная в виде гладкой опоры, не дает телу перемещаться в направлении, перпендикулярном к поверхности тела в точке опоры. Реакция гладкой опоры направлена по нормали к опирающейся поверхности и приложена к телу в точках касания .
3. Нить. Связь, осуществляемая в виде гибкой нити, не позволяет телу удаляться от точки привеса, поэтому реакция связи всегда направлена вдоль нити к точке ее закрепления.
4. Цилиндрический шарнир. Цилиндрический шарнир допускает вращение вала, но препятствует его перемещению в плоскости хОу. Поэтому реакция цилиндрического шарнира расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные проекции на оси Ох и Оу.
5. Невесомый стержень. Жесткий невесомый (массой его пренебрегают) стержень, шарнирно прикрепленный к телу, испытывает действие только двух сил, приложенных в шарнирах А и В. Как и вся конструкция, стержень АВ находится в равновесии. Если стержень находится в равновесии под действием двух сил, то в соответствии с аксиомой 1 статики эти силы должны быть равны по модулю, но противоположно направлены по одной линии действия.
6. Жесткая заделка. Заделка исключает возможность любых перемещений вдоль осей Ох и Оу, а также поворот в плоскости хОу. Поэтому такая связь при освобождении тела от связи будет заменяться реакцией
Плоская система сил
Система сил, линии, действия которых лежат в одной плоскости, называется плоской.
На плоскости могут быть приложены произвольно расположенные силы, пары сил и силы, сходящиеся в одной точке. Рассмотрим равновесие системы сходящихся сил.
Сходящимися называются силы, линии, действия которых пересекаются в одной точке. Существуют два способа сложения пересекающихся сил: геометрический и аналитический.
Условием равновесия системы сходящихся сил является равенство нулю модуля равнодействующей, т.е. силовой многоугольник должен быть замкнутым (при геометрическом способе сложения) или, аналитически, проекции равнодействующей силы на оси координат должны быть равны нулю. Отсюда для плоской системы сходящихся сил получим два уравнения равновесия этих сил:
Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю.
Что называется плоской системой сил?
Перпендикуляр, опущенный из точки О на линию действия силы F , называется ее плечом относительно центра О.
Пара сил. Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил, приложенных телу в двух разных точках, называется парой сил.
Плечом пары называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару.
Моментом пары сил называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение модуля одной из сил на плечо пары.
Что называется моментом силы относительно точки?
Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной силой, равной геометрической сумме всех сил, приложенных в произвольно выбранном центре, и моментом, равным алгебраической сумме моментов присоединенных пар.
Полученная в результате приведения сила R называется результирующей силой (она не является равнодействующей для заданной системы сил, так как не заменяет их действия), а М0 — результирующим моментом.
Приняты следующие определения:
1. Точка О называется центром приведения.
3. Момент М0, равный алгебраической сумме моментов присоединенных пар, называется главным моментом; его значение зависит от выбора центра приведения.
Чем отличается сходящиеся силы от произвольно расположенных?
1.4. Частные случаи приведения.
Аналитические условия равновесия плоской системы сил. Необходимыми и достаточными условиями равновесия являются: R = 0 и М0 = 0. Спроектировав вектор R на оси координат, получим
(1.1)
(1.2)
аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил:
(1.3)
Часто эти уравнения называют основными уравнениями равновесия. В зависимости от расположения сил иногда целесообразно составлять условия равновесия в виде двух уравнений моментов и одного уравнения проекций:
В этом случае ось Ох не должна быть перпендикулярна АВ.
Запишите основные уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.
Пространственная система сил
Пространственной будем называть систему сил, линии, действия которых имеют любые направления в пространстве.
Момент силы относительно точки (центра). Вектор момента силы относительно некоторого центра есть векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы, проведенного из этого центра, на вектор силы
В соответствии с определением
(1.4)
Модуль вектора момента силы относительно центра О будет равен моменту силы относительно точки О, находящейся с этой силой в одной плоскости.
Известно, что всякий вектор можно разложить по осям координат, так же можно разложить по осям координат радиус-вектор r точки приложения силы и силу F.
Проекции вектора момента силы на ось численно равны моменту силы относительно оси:
(1.6)
Первые три уравнения являются аналитическим выражением для определения моментов силы относительно осей координат.
Теорема о приведении пространственной системы сил к заданному центру. Всякая пространственная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой, геометрически равной сумме всех действующих сил, приложенных в произвольно выбранном центре, и вектором-моментом, равным геометрической сумме моментов всех сил относительно центра приведения.
Аналитическое выражение для определения главного вектора и главного момента. Главный вектор R и главный момент М0 были найдены геометрическим путем (построением векторных многоугольников). Для пространственной системы сил их проще определять аналитически. Принимаем центр приведения за начало координат. Тогда, проектируя на оси координат векторные равенства, получаем:
(1.7)
Что называется главным вектором системы сил, и зависит ли он от точки приведения?
Частные случаи приведения. Любая произвольная пространственная система может быть заменена главным вектором и главным моментом. Рассмотрим возможные частные случаи:
а) случай равновесия:
б) система сил сводится к паре (твердое тело вращается):
в) система сил сводится к равнодействующей:
г) система сводится к динамическому винту:
и они не перпендикулярны.
Аналитические условия равновесия пространственной системы сил. Необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной пространственной системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента:
(1.8)
равны нулю. Аналогичное рассуждение справедливо и для вектора главного момента. Следовательно, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно:
(1.9)
Запишите основные уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.
1.6. Определение центра тяжести
Центр тяжести твердого тела. Силы притяжения отдельных частиц тела направлены приблизительно к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела, а центр этой системы параллельных сил, в котором приложен вес тела, называется центром тяжести тела.
Координаты центра параллельных сил определяются по формулам:
(1.10)
Координаты центра тяжести твердого тела. Если в формулах для определения координат центра параллельных сил вместо F iх , F iy , F iz , и R подставить т i g х т i gу , т i g z , и тg, то получим зависимости для определения координат центра тяжести тела:
(1.11)
где т i , v i — соответственно масса и объем каждой частицы твердого тела, а т и V — вся масса и объем однородного тела.
Запишите формулы координат центра тяжести объемного твердого тела.
Способы определения центров тяжести.
Способ разбиения на фигуры, положение центров тяжести которых известно. Применяется в случаях, когда тело можно разбить на конечное число элементов.
Способ дополнения является частным случаем способа разбиения на простейшие фигуры. Применяется, когда тело разбивается на простейшие фигуры, положения центров тяжести которых известны, но некоторые из геометрических фигур представляют из себя пустоты.
Способ интегрирования применяется в случаях, когда для определения центра тяжести не могут быть применены первые два способа.
Метод подвешивания заключается в том, что плоское тело, которое нельзя разбить на простейшие фигуры с известным положением центра тяжести, подвешивают на нити. Прочерчивают линию вдоль этой нити на плоскости тела. Затем эту плоскую фигуру открепляют и подвешивают за другую точку, после чего вновь проводят вертикальную линию (вдоль линии подвеса). Пересечение этих двух линий дает точку, в которой находится центр тяжести.
Перечислите способы определения координат центра тяжести твердого тела. Укажите отличие экспериментального способа от способа дополнения.
2.1. Кинематика точки
Основные понятия. Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, вызывающими это движение.
Что изучает кинематика?
Способы задания движения материальной точки. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, или траекторию точки.
Движение точки будет задано естественным способом, если будут известны:
зависимость изменения длины участка траектории от времени или уравнение движения материальной точки
Положение точки в пространстве в этом случае будет определяться геометрическим местом концов векторов r .
При координатном способе задания движения должны быть известны зависимости, по которым можно определить, как со временем изменяются координаты точки в пространстве:
Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах, с их помощью для каждого момента времени можно определить положение точки в пространстве. Если точка движется на плоскости, то ее положение определится двумя уравнениями
если точка движется по прямой, то ее движение определится только одним уравнением:
Какие два способа задания движения материальной точки вы знаете? Запишите формулу естественного способа.
Скорость точки характеризует быстроту и направление движения точки. При векторном способе задания движения положение точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором r1 = r(t).
Отношение r / t является вектором средней скорости, а векторная производная от r по времени t и будет вектором скорости в данный момент времени:
(2.5)
Если же движение точки задано естественным способом, то известны ее траектория АВ, начало движения, направление и уравнение движения
Воспользуемся полученной зависимостью для скорости и представим величину средней скорости без учета единичного вектора
(2.7)
Поскольку S — величина скалярная, то вектор S / t будет иметь направление касательной к траектории в точке М.
При движении точки по криволинейной траектории оценку скорости целесообразно проводить на предельно малом участке при условии что время стремится к предельно малому значению:
(2.8)
Производная представляет собой алгебраическое значение скорости.
Абсолютная скорость материальной точки есть дифференциал пути по времени или первая производная пути от времени.
(2.9)
Укажите основные отличия определения средней и абсолютной скорости.
2.3. Ускорение точки.
Вектор ускорения точки
(2.10)
Абсолютное ускорение материальной точки есть дифференциал скорости по времени или вторая производная пути от времени. Если известны проекции а х , а у и а z этого вектора на оси координат, то можно определить модуль ускорения:
(2.11)
При естественном способе задания траектории движения материальной точки ее вектор ускорения можно разложить по естественным осям координат a и a n :
(2.12)
Проекция ускорения на орт a называется касательным ускорением, которое изменяет модуль скорости:
(2.13)
Касательное ускорение существует только при неравномерном криволинейном движении.
Как между собой связаны касательное и нормальное ускорение?
Нормальное ускорение a n изменяет направление вектора скорости v , поэтому материальная точка движется по криволинейной траектории
(2.14)
Что называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением?
2.4. Частные случаи движения материальной
1. a n = 0 ; аτ = 0. Следовательно, полное ускорение а = 0. Точка движется равномерно по прямой линии. Закон движения в этом случае
( 2.17)
( 2.18)
Как от касательного и нормального ускорения зависит характер движения материальной точки?
2.5. Простейшие движения твердого тела
Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, взятая на теле, во время движения остается параллельной своему начальному положению.
При поступательном движении все точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения. Это основное свойство поступательного движения дает возможность изучать движение по одной из его точек. Примером поступательного движения является движение поршня паровой машины, ползуна с резцом в поперечно-строгальном станке. В этих случаях траектории точек тела прямолинейные. В спарнике двух колес (рис. 1.) траектории точек представляют окружность; сам спарник АА1 движется поступательно, а колеса вращаются. Существуют еще более сложные траектории движения точек при поступательном движении тела. При выпуске шасси у истребителя МиГ-21 колеса совершают поступательное движение, причем траектории точек колеса имеют пространственную кривую.
Вращательное движение относительно неподвижной оси. Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Для осуществления этого движения следует неподвижно закрепить две точки твердого тела А и В (рис. 2). Тогда прямая, проходящая через эти точки, является осью вращения.
При вращении тела угол поворота тела меняется в зависимости от времени:
Эта зависимость называется уравнением вращательного движения тела.
Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью тела. Ее значение определяется по формуле
(2.20)
Учитывая, что S = r φ и, следовательно,
,
Получим 
(2.21)
Отсюда найдем линейную скорость точки вращающегося тела
Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением
(2.23)
Какое движение называется поступательным,
2.6. Частные случаи вращательного
(равноускоренное или равнозамедленное). Его закон движения:
(2.25)
Плоское движение твердого тела. Плоским, или плоско-параллельным, движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Примерами плоского движения являются движение шайбы по льду, колеса поезда по прямолинейному участку пути.
вариант. Перемещаем тело поступательно так, чтобы прямая АВ, перемещаясь параллельно самой себе, заняла в пространстве положение А2В1. После этого повернем тело вокруг точки В1 на угол φ1.
с
овершить различные поступательные движения (в зависимости от выбранного полюса), а вращение, как в первом, так и во втором варианте, будет одинаковым.
Следовательно, любое плоское движениеможно разложить на
поступательное движение тела вместе с выбранным полюсом и
вращательное относительно полюса. Рис. 4
Чаще всего за такой полюс выбирают центр масс тела.
Что такое плоское движение твердого тела?
Мгновенный центр скоростей. Неизменно связанная с телом точка, скорость которой равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей (МЦС) лежит на перпендикулярах к скоростям точек тела, опущенных из этих точек (рис. 4). Различные случаи определения мгновенного центра скоростей показаны на рис. 5, а-в.
Преобразование движений. В машинах очень часто происходит преобразование одного движения в другое. Например, в кривошипно-шатунном механизме (рис.6) кривошип ОА совершает вращательное движение, которое преобразуется в поступательное перемещение ползуна В. При решении практических задач бывает необходимо найти законы этого движения или скорости. Рассмотрим пример.
Что называется мгновенным центром скоростей?
