какие строки называются базисными

Теорема о базисном миноре матрицы

В данной публикации мы рассмотрим теорему о базисном миноре (формулировка и следствия). Также разберем пример задачи для демонстрации ее применения на практике.

Формулировка теоремы

В произвольной матрице A столбцы/строки, входящие в состав базисного минора M (называются “базисными”), линейно независимы. Каждый столбец/строка матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов/строк.

Из теорему о базисном миноре следует:

Пример задачи

Давайте найдем всем базисные миноры матрицы A, представленной ниже, а также определим ее ранг.

Решение:

1. Выполним элементарные преобразования над матрицей, чтобы упростить ее. Для начала разделим третью строку на 2 и переставим ее с первой местами.

2. Отнимем из третьей строки первую.

3. Получаем матрицу с нулевой строкой, что означает, что все миноры третьего порядка равняются нулю.

4. Таким образом, базисными в нашем случае могут быть только ненулевые миноры второго порядка, состоящие из первой и второй строк полученной матрицы.

Источник

Лекция 6. Раздел 6.3
Базисный минор и ранг матрицы.

Введя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости.

Определение 6.3.1. Строки , . называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что справедливо равенство .

Здесь 0 – нулевая строка.

Определение 6.3.2. Строки называются линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии, что .

В этом случае линейная комбинация называется тривиальной.

Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема.

Теорема 6.3.1. Для того чтобы строки были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных.

Доказательство проводится так же, как и в п. 1.4.

Теорема 6.3.2. Если в систему строк матрицы входит нулевая строка, то эти строки линейно зависимы.

Доказательство. Действительно, нулевая строка представляет собой тривиальную линейную комбинацию любых строк. Но тогда мы сразу переходим к теореме 1.

Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеется произвольная матрица порядка :

.

Определение 6.3.3. Минором -го порядка матрицы называется определитель -го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых строк и столбцов матрицы .

Определение 6.3.4. В матрице , порядка , минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все остальные миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, то есть совпадает с меньшим из чисел или .

Очевидно, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но все они должны быть одного порядка.

Определение 6.3.5. Рангом матрицы называется порядок базисного минора.

Обозначается ранг матрицы – . Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базисными.

Теорема 6.3.3. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки и столбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы являются линейной комбинацией базисных строк или столбцов.

Доказательство проведем для строк. Покажем вначале, что базисные строки линейно независимы. Если бы они были линейно зависимы, то одна из этих строк была бы линейной комбинацией остальных. Тогда на основании свойств определителя эту комбинацию можно вычесть из указанной строки и получить на ее месте ноли. Но если вся строка состоит из нолей, то минор равен нулю, что противоречит теореме.

Докажем вторую часть этой теоремы. Рассмотрим любой минор -го порядка, включающий в себя базисный. Расположим базисный минор в левом верхнем углу:

.

По определению данный минор равен нулю. Раскроем его по последнему столбцу:

.

Здесь , разделим на него все равенство:

Из полученного выражения следует, что -ая строка является линейной комбинацией базисных строк.

Отсюда можно сделать вывод, что число линейно независимых строк или столбцов равно рангу матрицы. Это свойство используется для практического вычисления .

Источник

Какие строки называются базисными

– перестановка строк матрицы;

– умножение строк матрицы на действительное отличное от руля число;

– поэлементное сложение строк матрицы;

– вычеркивание нулевой строки;

– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).

Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, то есть

Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через r (соответственно, в системе остается r уравнений). Эти строки матрицы называются базисными.

Если r n (количество переменных в системе больше количеств а уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.

1. Оставить в левых частях уравнений системы r неизвестных (базисные переменные), остальные n — r неизвестных перенести в правые части (свободные переменные). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:

2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор), который должен быть отличен от нуля.

3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных следует заменить на свободную; полученный базисный минор снова проверить на отличие от нуля.

4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением.

5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.

6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.

Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений

Пример 1.7. Исследовать заданную систему уравнений и найти одно частное решение:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

По формулам (1.6) имеем

Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:

Источник

Какие строки называются базисными

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Теорема о базисном миноре матрицы Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 3. Теорема о базисном миноре матрицы

Указанные n равенств (1.42) удобно записать в виде одного равенства

Всякий раз, когда будет встречаться равенство (1.43), мы будем понимать его в смысле n равенств (1.42).
Введем теперь понятие линейной зависимости строк.
Определение. Строки A=(a₁,a₂. a_n), В = (b₁, b₂. b_n). С = (с₁, с₂. с_n) назовем линейно зависимыми, если найдутся такие числа α, β. γ не все равные нулю, что справедливы равенства

Указанные n равенств (1.44) удобно записать в виде одного равенства

а это и означает, что строка А является линейной комбинацией строк В. С.
2) Достаточность. Пусть одна из строк (например, А) является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа

Минором k-го порядка матрицы А будем называть определитель k- г о порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А. (Конечно, k не превосходит наименьшее из чисел т и п.)
Предположим, что хотя бы один из элементов а_ij матрицы А отличен от нуля. Тогда найдется такое целое положительное число r, что будут выполнены следующие два условия: 1) у матрицы А имеется минор r-го порядка, отличный от нуля, 2) всякий минор

(г + 1)-го и более высокого порядка (если таковые существуют) равен нулю.
Число г, удовлетворяющее требованиям 1) и 2), назовем рангом матрицы А ( р анг матрицы А, все элементы которой — нули, по определению равен нулю). Тот минор r-го порядка, который отличен от нуля, назовем базисным минором (конечно, у матрицы А может быть несколько миноров r-го порядка, отличных от нуля). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответственно базисными строками и базисными столбцами.
Докажем следующую основную теорему.
Теорема 1.6 (теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).
Доказательство. Все рассуждения проведем для строк.
Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы.
Докажем теперь, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Так как при произвольных переменах строк (или столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то мы, не ограничивая общности, можем считать, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы (1.47), т.е. расположен на первых г строках и первых г столбцах. Пусть j — любое число от 1 до n, а k — любое число от 1 до m.
Убедимся в том, что определитель (г + 1)-го порядка

(для всех j = 1, 2. n). Учитывая, что в последних равенствах алгебраическое дополнение c_r+1 = A_kj совпадает с заведомо отличным от нуля базисным минором, мы можем поделить каждое из этих равенств на c_r+1. Но тогда, вводя обозначения

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Базисные строки

Базисные строки ( базисные столбцы) линейно независимы. [1]

Базисные строки ( столбцы) линейно независимы; любая строка ( столбец) представляет собой линейную комбинацию базисных. [2]

Базисные строки ( столбцы) матрицы линейно независимы. [3]

Базисные строки ( базисные столбцы) линейно независимы. [4]

Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы. [5]

Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы. [6]

Если бы базисные строки были линейно зависимы, то одна из этих строк линейно выражалась бы через остальные базисные строки. Но тогда базисный минор должен равняться нулю, что противоречит условию. [7]

Являются ли базисные строки и базисные столбцы для квадратной матрицы эквивалентными системами векторов. [8]

Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы. [9]

Теорема 41.1. Любые базисные строки образуют базу векторов-строк матрицы. [10]

Если бы базисные строки ыли линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы. [11]

Допустим, что базисные строки линейно зависимы. Тогда одну из них можно представить в виде линейной комбинации остальных и, следовательно, базисный минор равен нулю. Полученное противоречие доказывает первую часть утверждения теоремы. [12]

Для того чтобы убедиться в справедливости утверждения теоремы, необходимо показать, что базисные строки линейно независимы и любая строка матрицы линейно через них выражается. [13]

Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы. [15]

Источник