Сложение натуральных чисел. Свойства сложения
При таом поразрядном сложении вычисления приходится проводить только с однозначными числами, что не вызывает затруднений.
Напомним, что в равенстве a + b = c числа a и b называют слагаемыми, число с и запись a + b − суммой. Здесь буквами обозначены числа.
Вам хорошо известно переместительное свойство сложения.
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
В буквенном виде это свойство записывают так:
a + b = b + a
Скорее всего вы поступите так:
Здесь мы воспользовались сочетательным свойством сложения.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
В буквенном виде это свойство записываю так:
(a + b) + c = a + (b + c)
Из свойств сложения следует, что при сложении нескольких чисел слагаемые можно менять местами и заключать их в скобки, тем самым определяя порядок вычислений.
Например, верны равенства:
2 + 3 + 7 + 8 = ( 2 + 8 ) + ( 7 + 3 ).
При сложении число 0 обладает особым свойством: если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому:
a + 0 = a,
0 + a = a.
Используя переместительно и сочетательное свойства сложения, получаем:
136 + (a + 214 ) = 136 + ( 214 + a) = ( 136 + 214 ) + a = 350 + a.
Учитывая, что 1 мин = 60 с, имеем:
7 мин 44 с + 5 мин 38 с = 7 мин + 44 с + 5 мин + 38 с = ( 7 мин + 5 мин) + ( 44 с + 38 с) = 12 мин + 82 с = 12 мин + 60 с + 22 с = 12 мин + 1 мин + 22 с = 13 мин 22 с.
Базовые свойства
Главными элементами сложения являются аргументы (слагаемые). Сумма — результат увеличения значений первого и второго аргументов. На письме эта математическая операция обозначается символом +. Основными свойствами сложения в математике являются:
Базовые свойства сложения изучаются в начальной школе со 2 класса. Процесс обучения начинается с простых заданий с двумя компонентами, представленными натуральными числами. По мере обучения увеличивается сложность задач и количество слагаемых. В школе большинство вычислений производится в десятичной системе счисления, поэтому в качестве памятки рекомендуется предоставить ученикам таблицу сложения, где представлены суммы пар чисел от 1 до 10.
Нахождение суммы многозначных чисел
Многозначными называются числа, состоящие из двух и более цифр. Для нахождения их суммы необходимо знание численных разрядов. Цифра, стоящая последней, показывает количество единиц. Далее идут десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и миллионы. Многозначные числа складываются столбиком. Сложить можно только одинаковые разряды.
Пример: найти сумму многозначных чисел 125 и 234. Отдельно складываются единицы, десятки и сотни: 5 + 4 = 9, 2 + 3 = 5, 1 + 2 = 3. Суммой является число 359.
Для проверки правильности вычислений нужно вычесть из суммы одно из слагаемых. Если разность равна второму слагаемому, то пример решен правильно. Проверку можно осуществить также при помощи калькулятора или иных вычислительных устройств.
Прибавление дробей и смешанных значений
Дробь — часть от целого числа, записываемая в виде x / y. Значение x называется числителем, y — знаменателем. Дробное число представляет собой операцию деления, где делимым является числитель, а делителем — знаменатель. Дробь считается правильной, если числитель не больше знаменателя.
При складывании дробей с одинаковыми знаменателями необходимо прибавлять только их числители (например, 1/5 + 3/5 = 4/5). Если значения, стоящие под знаком дроби, разные, то необходимо привести выражение к единому знаменателю:
Для упрощения этой процедуры рекомендуется приобрести таблицу умножения. С ее помощью можно легко найти общий знаменатель и дополнительные множители.
Десятичной называется дробь, знаменатель которой равен 10. Она состоит из целой и дробной частей, отделенных запятой. При нахождении суммы десятичные дроби записываются столбиком. Важно, чтобы запятые находились на одном уровне. При неравном количестве разрядов с правой стороны дописываются нули. Если в результате после запятой стоит 0, то он опускается.
Смешанное число — сумма обыкновенной дроби (дробная часть) и целого числа (целая часть).
Для определения суммы чисел в смешанной записи необходимо отделить целую часть от дроби и сложить их по отдельности, применяя базовые свойства сложения. Если в результате вычислений получилась неправильная дробь, то нужно следовать следующему алгоритму действий:
В математике процесс преобразования неправильной дроби в смешанное число называется выделением целой части. Если числитель полностью делится на знаменатель, то неправильную дробь можно записать в виде целого числа.
Складывание векторов, пределов и матриц
Вектор — отрезок, имеющий длину и направление. Он является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. В буквенном виде он записывается двумя заглавными символами латинского алфавита или одной маленькой латинской буквой. Существует два основных способа сложения векторов:
Для нахождения суммы трех и более векторов необходимо отметить на плоскости произвольную точку и последовательно отложить от нее исходные векторы. Отрезок, соединяющий начало первого вектора и конец последнего, является суммой. При сложении важно учитывать, что результат сложения противоположно направленных векторов равен 0. Наглядно способы нахождения суммы векторов проиллюстрированы ниже.
Пределом функции является число, к которой стремится значение функции f (x) при стремлении ее аргумента к заданной точке на графике. Является одним из разделов математического анализа. Предел функции вычисляется по следующей формуле: limx →∞ f (x)= C, где C — число, к которому стремится аргумент функции. Для нахождения предела суммы необходимо сложить функции, стремящиеся к идентичным точкам на заданном графике.
Матрица — элемент высшей математики, представленный в виде таблицы прямоугольной формы. Она состоит из неограниченного количества строк и столбцов, где записываются целые, действительные, иррациональные и комплексные числа. В квадратных матрицах количество столбцов и строк совпадает. Нулевой называется таблица, где все компоненты равны 0. Матрицы нашли применение в записи алгебраических и дифференциальных уравнений.
Складывать можно только одноразмерные матрицы (число строк и столбцов совпадает). В противном случае может измениться их исходный размер. При нахождении суммы матриц каждые элементы складываются по отдельности. Нельзя сложить компоненты, находящиеся в разных строках или столбцах. В результате получится матрица с исходным размером. При сложении применяются свойства коммутативности и ассоциативности. Для складывания нулевых матриц важно знать правило нейтрального элемента.
Сложение в двоичной системе счисления
В двоичной системе счисления математические операции выполняются на электронно-вычислительных машинах. В ней применяются только две цифры: 0 и 1. Сложение в этой системе счисления выполняется в столбик. Для вычислений требуется следующая таблица:
| Условие математической операции |
| 0 + 0 = 0 |
| 0 + 1 = 1 |
| 1 + 0 = 1 |
| 1 + 1 = 10 |
Числа, записываемые в столбик, выравниваются по разделителю целой и дробной частей. Если количество разрядов не совпадает, то с правой стороны необходимо добавить нули. При складывании нескольких чисел возможен перенос через 2 и более разряда.
Для упрощения математической операции можно перевести числа из двоичной системы счисления в десятичную. Для этого над каждой цифрой исходного числа слева направо ставится степень, начиная от 0. Каждый элемент умножается на цифру 2, возведенную в соответствующую степень. Результаты вычислений суммируются. С помощью этого способа можно также переводить в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
4 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 73
Ноя 18
4 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 73
Числа от 1 до 1000
Сложение и вычитание
Что узнали. Чему научились
Ответы к стр. 73
22. Дополни задачу недостающими данными и реши её.
Из неисправного водопроводного крана в секунду капают 2 капли, а за 12 мин наполняется 1 полный стакан. Сколько литров воды может зря вылиться из такого крана в течение часа? в течение суток?
(Считать в литре [5] стаканов.)
24. Какие числа пропущены в таблице?
11 см 2 = [100] мм 2 1 м 2 = [100] дм 2
1 дм 2 = [100] см 2 1 км 2 = [1000000] м 2
26. Из двух одинаковых квадратов составили прямоугольник со сторонами 3 см и 1 см 5 мм. Сделай к задаче чертёж. Вырази длины сторон прямоугольника в миллиметрах и вычисли периметр этого прямоугольника и каждого квадрата.
3 см = 30 мм, 1 см 5 мм = 15 мм
Периметр прямоугольника: (30 + 15 ) • 2 = 90 (мм).
Периметр квадрата (оба квадрата одинаковы, достаточно найти периметр одного из них): 15 • 4 = 60 (мм).
27. Начерти такие фигуры в тетради. В фигуре 1 найди одну девятую долю и закрась четыре таких доли, а в фигуре 2 закрась семь шестнадцатых долей. Найди площадь незакрашенной части фигуры 1.
Вопросы для повторения
1. Как называются числа и соответствующие выражения при сложении? при вычитании?
2. Какие свойства сложения ты знаешь?
Переместительное свойство сложения, сочетательное свойство сложения, свойство нуля при сложении, свойство вычитания суммы из числа, свойство вычитания числа из суммы.
3. Чему равна сумма двух слагаемых, если одно из них равно нулю? разность, если вычитаемое равно нулю?
Сумма равна второму слагаемому. Разность равна уменьшаемому.
4. Что получится, если из суммы двух слагаемых вычесть одно слагаемое? если к вычитаемому прибавить разность? если из уменьшаемого вычесть разность?
Получится другое слагаемое. Получится уменьшаемое. Получится вычитаемое.
5. Как можно проверить сложение? вычитание?
Из суммы вычесть одно из слагаемых. К разности прибавить вычитаемое, из уменьшаемого вычесть разность.
6. Какие ты знаешь правила о порядке выполнения действий в выражениях без скобок? в выражениях со скобками?
Сначала выполняются умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Сначала выполняются действия в скобках.
Свойства сложения и вычитания
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
