Позиция, скорость и ускорение как временная функция
Физика > Позиция, скорость и ускорение как временная функция
Рассмотрите механические и электромагнитные волны: как выглядит форма волны и что ее определяет, что такое волна, волновое уравнение и формула, типы волны.
Волна – колебание в пространстве, сопровождающееся транспортировкой энергии.
Задача обучения
Основные пункты
Термины
Обзор
Волна – колебание в пространстве, во время которого транспортируется энергия. Волновое движение передает энергию из одной точки в другую. Очень часто это происходит без смещения частичек среды. Это колебания или вибрации в почти фиксированных местах. Важно различать два главных волновых типа.
Механические волны путешествуют сквозь среду, чье вещество подвергается деформации. Деформация видоизменяет себя из-за восстановления сил, создающихся в момент этой самой деформации.
Электромагнитные волны не нуждаются в среде (хотя способы распространяться сквозь нее). Это периодические колебания в электрических и магнитных полях, создаваемые заряженными частичками, поэтому способны сбегать сквозь вакуум.
Волновое уравнение
Что определяет форму волны? Форма волны способна принимать форму любой функции, повторяющейся над определенным пространственным масштабом (λ). Чаще всего, волны выступают скалярными функциями (u), выраженные в уравнении:
То есть, ускорение формы волны выступает пропорциональным лапласианской (справа) той же волной формы. Постоянная пропорциональности (с 2 ) – квадрат скорости распространения волны.
Перед вами несколько простых форм сигнала. Форма волны – повторяющаяся в пространстве функция
Синусоидальная волна
На картезианской плоскости отображена функция синуса. Здесь угол х задается в радианах (π = 180°)
Давайте взглянем на одну из наиболее распространенных осциллограмм – синусоиду. Общая форма такой волны:
Это уравнение справедливо для с = ω/k, которое также воспринимают как фазовая скорость волны. Чтобы отыскать скорость частички в среде при х и t, используем временную производную формы волны и получим:
Если вам необходимо вычислить ускорение смещенной частички в среде при x и t, то также возьмите вторую производную:
Внимательнее рассмотрите фазовое соотношение между тригонометрическими функциями по y (x, t), y'(x, t), y»(x, t). Если смещение частичек выступает максимальным или минимальным, то скорость = 0. В случаях, где смещение = 0, скорость – максимальная или минимальная.
Произвольная волна
Мы рассмотрели синусоидальную волну. Как же обстоят дела с волнами общей формы? Вся суть в том, что волновое уравнение выступает линейным и остается стабильным при перемещении в пространстве и времени. Волну с произвольной формой можно представить суммой множества синусоидальных волн, поэтому у нас есть возможность создать огромное количество вариантов решений волнового уравнения.
Скорость как функция времени
Рис. 1.2.1. Траектория и перемещение материальной точки
Рис. 1.2.2. Векторы перемещения материальной точки:
а) неэквивалентность результата перемещения при одинаковой длине вектора;
б) сложение векторов
Очевидно, что, хотя величины перемещений одинаковы, результат далеко не равноценен, поскольку МТ оказывается в разных пространственных положениях. Если МТ совершает сложное движение, которое можно описать, например, двумя последовательными перемещениями
Квадрат модуля вектора (1.2.1) в общем случае можно вычислить, используя теорему косинусов:
К числу векторных величин в механике относят скорость, ускорение, силу и ряд других. Длина отрезка в установленном масштабе имеет смысл модуля вектора, стрелкой показывают направление вектора.
Величины, для определения которых достаточно знать одно число, называются скалярными ( скалярами ). Скалярами являются путь, время, масса, температура и другие.
Рис. 1.2.3. Радиус-вектор материальной точки в зависимости от времени
По определению, соотношение (1.2.4) представляет собой производную по времени:
и называется истинной или мгновенной скоростью МТ. Из Рис. 1.2.4 ясно, что вектор является секущей траектории движущейся МТ.
Рис. 1.2.4. Скорость как секущая траектории материальной точки
1.2.2. Вычисление пройденного пути
Из соотношения (1.2.6) следует, что при малых Δt приближенно выполняется:
Используя (1.2.7), можно приближенно представить:
Подставляя (1.2.9) в (1.2.8), получим:
В пределе при стремлении к нулю всех промежутков Δt i сумма, стоящая в правой части (1.2.10), будет точно равна пути:
Скорость есть функция времени v = v(t). В математическом анализе в общем виде для произвольной функции f(x) задают определенный интеграл следующим образом:
Рис. 1.2.5. Геометрическая интерпретация пути
Движение, при котором скорость, изменяясь как угодно по направлению, не меняется по величине, называют равномерным. Тогда все значения v i в формуле (1.2.11) будут одинаковыми, и общий множитель можно вынести за знак суммы, при этом сумма временных промежутков равна времени t. В результате приходим к простому соотношению:
Из (1.2.14) следует, что при равномерном движении скорость равна пути, деленному на время:
1.2.3. Ускорение
Если ускорение постоянно (движение МТ равноускореннное ), то из (1.2.17) следует:
1.2.4. Нормальное и тангенциальное ускорение
Рассмотрим равномерное движение МТ по окружности. Пусть в рассматриваемый момент времени t МТ находится в положении 1 (Рис. 1.2.6).
Рис. 1.2.6. Равномерное движение по окружности радиуса R
Подставляя (1.2.21) в (1.2.23), имеем:
Разделив обе части (1.2.24) на Δt и переходя к пределу, получим ускорение:
Рис. 1.2.7. К определению полного ускорения
Эти составляющие выберем так, чтобы расстояние от точки 1 до конца вектора было равно модулю скорости в начальный момент времени. Тогда, очевидно, модуль вектора будет равен приращению модуля скорости:
Для вектора полного ускорения запишем:
Тангенциальное ускорение, учитывая (1.2.29), имеет явный вид:
Тогда из (1.2.29), (1.2.31) и (1.2.32) следует:
Итак, вектор полного ускорения равен векторной сумме тангенциального и нормального ускорения, первый из которых ( ) направлен по касательной к траектории, а второй ( ) перпендикулярен к вектору скорости и направлен к центру кривизны траектории (Рис. 1.2.8).
Рис. 1.2.8. Вектор полного ускорения материальной точки
1.2.5. Кинематика вращательного движения.
Угловые скорости и ускорение
Все точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси ОО, движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Радиус-вектор каждой точки за время Δt поворачивается на один и тот же угол Δφ. Поворот тела на некоторый угол φ можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, условились связывать направление поворота и изображающего его отрезка так называемым правилом правого винта. Согласно этому правилу, направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль этого направления, мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (так, как происходит при вращении винта с правой нарезкой резьбы). Векторы, направление которых связывается с направлением вращения, называют аксиальными (в отличие от векторов перемещения, скорости, ускорения, относящихся к полярным векторам).
является модулем угловой скорости тела. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, которая определяется правилом правого винта (Рис. 1.2.9).
Число оборотов в единицу времени (частота вращения) равно:
Точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, проходит при этом путь Δs, равный
По определению, линейная скорость МТ равна:
Следовательно, взаимосвязь между угловой скоростью вращения тела ω и линейной скоростью МТ имеет вид:
Итак, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.
Найдем линейное ускорение точек вращающегося тела. Подставляя в выражение для модуля нормального ускорения (1.2.27) линейную скорость (1.2.44), получим:
Используя выражение для модуля тангенциального ускорения (1.2.33) и (1.2.44), имеем:
Следовательно, между тангенциальным и угловым ускорением есть взаимосвязь:
Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорение растет линейно с увеличением расстояния от МТ до оси вращения тела.
Найдем взаимосвязь между векторами и с помощью векторного произведения. Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью (Рис. 1.2.11).
Рис. 1.2.11. Связь между векторами угловой и линейной скорости
© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013
Физический смысл производной в задании 6
Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.
На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.
Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.
Точно так же мы можем посчитать и ускорение:
Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.
Пример № 1
Материальная точка движется по закону:
Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.
Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:
Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:
Пример № 2
Материальная точка движется по закону:
В первую очередь, вновь ищем производную:
От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:
Ключевые моменты
В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.
Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.
Функции времени и скорости в физике и математике
Функции времени и скорости в физике и математике.
Почти философские размышления.
1.
Математика это система исчисления, условно отражающая явления физического мира.
Не все, что пишется в математике, есть в физическом мире. Одно из таких сомнительных
явлений это квадратные, а также кубические и др. функции. Математика свободно оперирует такими величинами, а вот познать физическую суть квадрата скорости и еще более квадрата времени, очень трудно.
Скорость это есть система исчисления линейного расстояния относительно времени.
Расстояние может измеряться в квадрате (как площадь) и в кубе
Таким образом, скорость в квадрате это изменение площади в единицу времени.
А скорость в кубе это изменение объема в единицу времени.
Как появились в математике квадратная и кубическая функции?
Квадратная функция появляется, когда линейное исчисление закончено и начинается исчисление второго и третьего ряда с образование площади.
Кубическая функция появляется, когда исчисление площади закончено и начинается исчисление объема с образованием куба.
2.
Время для нашего измерения течет всегда линейно.
Оно не имеет тех обстоятельств, которые могли бы остановить развитие линейной функции времени и начать исчисление для него измерений аналогичных «площади» или «объему».
Пока мы не знаем таких обстоятельств.
Значит, задача должна сводиться к поиску таких условий.
Пока мы знаем такие обстоятельства, которые могут приводить к субъективному восприятию человеком изменения скорости течения времени.
Это эмоции человека.
При этом, возможно, изменяется не течение времени, а именно наша внутренняя система его измерения.
3.
Всякая ученая статья без рекомендаций к практическому применению стоит мало.
Из вышеизложенного, несколько с опозданием, сделал такой вывод.
Если сделать генератор, который будет вырабатывать энергию со свойствами и частотой аналогичными тем что вырабатывает человек испытывая эмоции, то мы с можем на этой основе
построить. машину времени.
4.
На сегодня дополнение к написанному такое:
время, как функция, скорее всего неизменна. Это та неизменная задающая структура, относительно которого меняется (движется) все остальное. Например пространство.
Например, луч света представляет из себя бесконечно материю и энергия движется в ней с известной нам скоростью света.
Скорость как функция времени
Рис. 1.2.1. Траектория и перемещение материальной точки
Рис. 1.2.2. Векторы перемещения материальной точки:
а) неэквивалентность результата перемещения при одинаковой длине вектора;
б) сложение векторов
Очевидно, что, хотя величины перемещений одинаковы, результат далеко не равноценен, поскольку МТ оказывается в разных пространственных положениях. Если МТ совершает сложное движение, которое можно описать, например, двумя последовательными перемещениями
Квадрат модуля вектора (1.2.1) в общем случае можно вычислить, используя теорему косинусов:
К числу векторных величин в механике относят скорость, ускорение, силу и ряд других. Длина отрезка в установленном масштабе имеет смысл модуля вектора, стрелкой показывают направление вектора.
Величины, для определения которых достаточно знать одно число, называются скалярными ( скалярами ). Скалярами являются путь, время, масса, температура и другие.
Рис. 1.2.3. Радиус-вектор материальной точки в зависимости от времени
По определению, соотношение (1.2.4) представляет собой производную по времени:
и называется истинной или мгновенной скоростью МТ. Из Рис. 1.2.4 ясно, что вектор является секущей траектории движущейся МТ.
Рис. 1.2.4. Скорость как секущая траектории материальной точки
1.2.2. Вычисление пройденного пути
Из соотношения (1.2.6) следует, что при малых Δt приближенно выполняется:
Используя (1.2.7), можно приближенно представить:
Подставляя (1.2.9) в (1.2.8), получим:
В пределе при стремлении к нулю всех промежутков Δt i сумма, стоящая в правой части (1.2.10), будет точно равна пути:
Скорость есть функция времени v = v(t). В математическом анализе в общем виде для произвольной функции f(x) задают определенный интеграл следующим образом:
Рис. 1.2.5. Геометрическая интерпретация пути
Движение, при котором скорость, изменяясь как угодно по направлению, не меняется по величине, называют равномерным. Тогда все значения v i в формуле (1.2.11) будут одинаковыми, и общий множитель можно вынести за знак суммы, при этом сумма временных промежутков равна времени t. В результате приходим к простому соотношению:
Из (1.2.14) следует, что при равномерном движении скорость равна пути, деленному на время:
1.2.3. Ускорение
Если ускорение постоянно (движение МТ равноускореннное ), то из (1.2.17) следует:
1.2.4. Нормальное и тангенциальное ускорение
Рассмотрим равномерное движение МТ по окружности. Пусть в рассматриваемый момент времени t МТ находится в положении 1 (Рис. 1.2.6).
Рис. 1.2.6. Равномерное движение по окружности радиуса R
Подставляя (1.2.21) в (1.2.23), имеем:
Разделив обе части (1.2.24) на Δt и переходя к пределу, получим ускорение:
Рис. 1.2.7. К определению полного ускорения
Эти составляющие выберем так, чтобы расстояние от точки 1 до конца вектора было равно модулю скорости в начальный момент времени. Тогда, очевидно, модуль вектора будет равен приращению модуля скорости:
Для вектора полного ускорения запишем:
Тангенциальное ускорение, учитывая (1.2.29), имеет явный вид:
Тогда из (1.2.29), (1.2.31) и (1.2.32) следует:
Итак, вектор полного ускорения равен векторной сумме тангенциального и нормального ускорения, первый из которых ( ) направлен по касательной к траектории, а второй ( ) перпендикулярен к вектору скорости и направлен к центру кривизны траектории (Рис. 1.2.8).
Рис. 1.2.8. Вектор полного ускорения материальной точки
1.2.5. Кинематика вращательного движения.
Угловые скорости и ускорение
Все точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси ОО, движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Радиус-вектор каждой точки за время Δt поворачивается на один и тот же угол Δφ. Поворот тела на некоторый угол φ можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, условились связывать направление поворота и изображающего его отрезка так называемым правилом правого винта. Согласно этому правилу, направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль этого направления, мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (так, как происходит при вращении винта с правой нарезкой резьбы). Векторы, направление которых связывается с направлением вращения, называют аксиальными (в отличие от векторов перемещения, скорости, ускорения, относящихся к полярным векторам).
является модулем угловой скорости тела. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, которая определяется правилом правого винта (Рис. 1.2.9).
Число оборотов в единицу времени (частота вращения) равно:
Точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, проходит при этом путь Δs, равный
По определению, линейная скорость МТ равна:
Следовательно, взаимосвязь между угловой скоростью вращения тела ω и линейной скоростью МТ имеет вид:
Итак, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.
Найдем линейное ускорение точек вращающегося тела. Подставляя в выражение для модуля нормального ускорения (1.2.27) линейную скорость (1.2.44), получим:
Используя выражение для модуля тангенциального ускорения (1.2.33) и (1.2.44), имеем:
Следовательно, между тангенциальным и угловым ускорением есть взаимосвязь:
Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорение растет линейно с увеличением расстояния от МТ до оси вращения тела.
Найдем взаимосвязь между векторами и с помощью векторного произведения. Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью (Рис. 1.2.11).
Рис. 1.2.11. Связь между векторами угловой и линейной скорости
© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013
