Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
Квадрат суммы
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.
…и приведем подобные слагаемые.
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).
Теперь приведем подобные слагаемые.
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).
Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.
Формулы сокращенного умножения
Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.
Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.
Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Для четных показателей 2m:
Для нечетных показателей 2m+1:
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Примеры применения ФСУ
Применим формулу суммы квадратов и получим:
Сокращаем и получаем:
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Формулы сокращенного умножения (ЕГЭ 2022)
Зачем нужны формулы сокращенного умножения?
С их помощью ты сможешь упростить выражение, привести многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных)
Ты сможешь легко в уме находить квадраты больших чисел и, например, быстро проверить свои расчеты на экзамене.
Иными словами это сильно экономит время при решении самых разных задач!
В общем их стоит выучить. Начнем?
Формулы сокращенного умножения — коротко о главном
Формулы сокращенного умножения – это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители.
Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно, потому что эти формулы позволяют сократить время на умножение. Вот смотри…
Возьмем самую простую первую формулу квадрата суммы \( <<\left( a+b \right)>^<2>>\) — и попробуем возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить \( \left( a+b \right)\) само на себя:
Приведи подобные слагаемые и ты получишь формулу сокращенного умножения квадрат суммы:
Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения.
Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.
Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности?
Куб суммы означает, что необходимо \( \left( a+b \right)\) само умножить на себя три раза:
И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.
Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.
Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.
Квадрат разности
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
Квадрат разности означает умножить \( \left( a-b \right)\) само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.
Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:
Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:
Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?
Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между \( a\) и \( b\), то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем.
При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел \( a\) и \( b\)!
Это грубейшая и самая распространенная ошибка!
Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Посчитай самостоятельно выражения:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:
Допустим, у нас есть следующее выражение:
Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа \( +\) квадрат другого числа и \( \pm \) удвоенное произведение этих чисел.
Так как во втором слагаемом есть \( b\), значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:
\( 24b=2\cdot 3b\cdot x\), где \( \displaystyle x\) – второе число, входящее в нашу скобку.
\( x=\frac<24b><6b>=4\). Второе число, входящее в скобку, равно \( \displaystyle 4\).
Проверим. \( \displaystyle 16\) должно быть равно \( <<4>^<2>>\). Действительно, так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: \( 4\) и \( 3b\). Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?
Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:
Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между \( a\) и \( b\)).
Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле.
Посмотри на это выражение: \( 12b+9+4<^<2>>\). Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?
Потренируйся – преобразуй следующие выражения:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Справился? Закрепим тему.
Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Разность квадратов
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
Еще одна формула сокращенного умножения – разность квадратов.
Разность квадратов — это не квадрат разности!
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность
Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим \( \left( a-b \right)\left( a+b \right)\), как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:
Что мы делаем дальше? Правильно! Приводим подобные слагаемые и получаем:
Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия.
Необходимо вычислить: \( <<145>^<2>>-<<45>^<2>>\). Конечно, мы можем возвести в квадрат \( 145\), затем возвести в квадрат \( 45\) и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:
\( <<145>^<2>>-<<45>^<2>>=\left( 145-45 \right)\cdot \left( 145+45 \right)=100\cdot 190=19000\)
Попробуй самостоятельно посчитать следующие выражения:
Получилось? Сверим результаты:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Так же, как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:
Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.
Поскольку \( 3= <<\left( \sqrt<3>\right)>^<2>>\), при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим
Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат!
Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:
Записал? Сравним полученные выражения:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.
Квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов — задачи на комбинацию этих формул
Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель — это полный квадрат:
Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе).
В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности.
Так как мы прибавляем \( 6ab\), то становится ясно, что числитель – квадрат суммы.
Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:
А теперь сверь результаты:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Куб суммы и куб разности
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
Формулы куба суммы и куба разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.
Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»
Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:
Какую ты видишь закономерность?
Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.
Формулы сокращенного умножения с примерами решения
Содержание:
Формулы сокращенного умножения
Умножение разности двух выражений на их сумму
Умножим разность 
Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде 
Поэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют се так:
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Умножим по этому правилу разность 
на сумму 
Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений:
Примеры выполнения заданий:
Пример №135
Решение:
Пример №136
Вычислить 
Решение:
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
Квадрат суммы двух выражений
Возведем в квадрат сумму 
Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Оно является формулой сокращенного умножения, поскольку позволяет возводить в квадрат сумму любых двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена 
Формулируют формулу квадрата суммы так:
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.
Возведем в квадрат сумму 
При возведении суммы 
в квадрат промежуточные преобразования можно выполнять устно:
Квадрат разности двух выражений
Возведем в квадрат разность 
Итак, получили такую формулу квадрата разности:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.
Квадраты противоположных чисел равны: 
Поэтому при возведении в квадрат выражений 
и 
можно пользоваться формулами:
Для тех, кто хочет знать больше
Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:
Докажем эти формулы.
Формулируют формулу куба суммы так:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.
Формулу куба разности формулируют аналогично.
Примеры выполнения заданий:
Пример №137
Возвести в квадрат выражение:
Решение:
Разложение на множители разности квадратов двух выражений
В тождестве 
поменяем местами левую и правую части:
Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:
Разность квадратов двух выражении равна произведению разности этих выражений и их суммы.
Формула разности квадратов позволяет разложить на множители двучлена 
Ее можно использовать при разложении на множители разности квадратов любых двух выражений. Например:
Примеры выполнения заданий:
Пример №138
Разложить на множители:
Решение:
Пример №139
Вычислить 
Решение:
Пример №140
Решить уравнение 
Решение:
Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности
Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:
Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена 
а вторая — трехчлена 
Примеры выполнения заданий:
Пример №141
Разложить на множители трехчлен 
Решение:
Пример №142
Найти значение выражения 
при 
Решение:
Запишем сначала трехчлен в виде квадрата двучлена:
При 
получим: 
При 
получим: 
Разность и сумма кубов двух выражений
Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов. При разложении на множители разности кубов двух выражений используют формулу разности кубов:
Докажем это тождество, перемножив выражения 
В формуле разности кубов трехчлен 
называют неполным квадратом суммы выражений 
(он напоминает трехчлен 
который является «полным» квадратом суммы выражений ). Поэтому формулу разности кубов можно сформулировать так:
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
При разложении на множители суммы кубов двух выражений используют формулу суммы кубов:
Докажем это тождество:
Трехчлен 
называют неполным квадратом разности выражений . Следовательно,
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
Примеры выполнения заданий:
Пример №143
Разложить на множители:
Решение:
Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители
Часто при разложении многочлена на множители нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.
Рассмотрим несколько примеров:
1. Разложим на множители многочлен 
Сначала вынесли общий множитель 
за скобки, а потом применили формулу разности квадратов.
2. Разложим на множители многочлен 
Все члены многочлена имеют общий множитель 
Вынесем eго за скобки:
Многочлен 
разложим на множители способом группировки:
Примеры выполнения заданий:
Пример №144
Разложить на множители трехчлен:
Решение:
а) Если к выражению 
прибавить 
то есть 9, то получим выражение
, которое является квадратом двучлена 
Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:
Пример №145
Разложить на множители многочлен 
Решение:
Пример №146
Решить уравнение 
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители:
откуда: 
Ответ: 
Применение преобразований выражений
Нам уже встречались задачи, при решении которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. Чаще всего мы использовали преобразования выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, нахождении значений выражении. Рассмотрим еще некоторые задачи, решение которых связано с преобразованием выражений.
Сравнение значений многочлена с нулем
Пример №147
Доказать, что многочлен 
принимает только положительные значения.
Решение:
Выделив из трехчлена 
квадрат двучлена, получим:
Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых 
Слагаемое 
: при любых 
принимает только неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительно. Поэтому выражение 
принимает только положительные значения. Поскольку 
то и выражение 
принимает только положительные значения.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений
Исходя из равенства 
полученного в примере 1, можно
указать наименьшее значение многочлена 
Оно равно 
причем это наименьшее значение многочлен принимает при 
Пример №148
Найти наибольшее значение многочлена 
Решение:
Преобразуем данный многочлен так:
Наибольшее значение многочлена равно 5.
Решение задач на делимость
Пример №149
Доказать, что значение выражения 
делится на 8 при любом целом значении 
Решение:
Упростим данное выражение:
При любом целом значении 
произведение 
делится на 8, поэтому и значение выражения 
делится на 8.
Нахождение значений многочлена с помощью микрокалькулятора
Пример №150
С помощью микрокалькулятора найти значение многочлена
Решение:
Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:
При 
схема вычислений имеет вид:
Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.
Интересно знать
Античные математики использовали формулы сокращенного умножения задолго до нашей эры. В те времена формулы представлялись не в привычном нам символическом виде, а формулировались словами.
Ученые Древней Греции алгебраические утверждения, формулы, выражающие определенные зависимости между величинами, трактовали геометрически. Так, произведение 
они рассматривали как площадь прямоугольника со сторонами 
Приведем пример алгебраического утверждения, которое было известно древнегреческим ученым и в геометрической терминологии формулировалось так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площади квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.
Нетрудно догадаться, что речь идет о формуле квадрата суммы, которую мы символически записываем так:
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
