Сопряженные и самосопряженные преобразования
(операторы) евклидова пространства
Свойства сопряженного преобразования (оператора)
1. Сопряженное преобразование (оператор) — линейное.
2. Для каждого линейного преобразования существует единственное сопряженное преобразование, причем матрица сопряженного преобразования (в любом ортонормированном базисе) является транспонированной по отношению к матрице данного преобразования (в том же базисе).
Самосопряженные преобразования (операторы) евклидова пространства
Свойства самосопряженного преобразования
2. Все корни характеристического уравнения самосопряженного преобразования действительные.
В самом деле, предположим противное, а именно существование пары комплексных сопряженных корней [math]\lambda=\alpha\pm\beta i,
Найдем скалярные произведения:
3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям самосопряженного преобразования, ортогональны.
Это следует из свойства 3 сопряженных преобразований (см. выше).
Положительные и неотрицательные преобразования евклидовых пространств
Отметим следующие свойства положительных и неотрицательных преобразований (операторов).
1. Из теоремы 9.10 следует, что для любой действительной симметрической матрицы [math]A[/math] существует диагональная матрица [math]\Lambda= \operatorname
3. Теорема 9.11 справедлива для любого линейного преобразования, если условие положительности самосопряженного преобразования заменить условием его неотрицательности.
4. Геометрический смысл теоремы 9.11 следующий: любое невырожденное линейное преобразование можно представить как композицию преобразований, каждое из которых есть либо простое отражение (относительно гиперплоскости), либо простой поворот (двумерной плоскости), либо растяжение вдоль взаимно перпендикулярных направлений.
Приведение самосопряженного преобразования (оператора) к диагональному виду
Нахождение диагонального вида матрицы самосопряженного преобразования ( первый этап ).
2. Составить искомую диагональную матрицу (9.22):
Нахождение матрицы [math]S[/math] перехода от данного базиса [math](\boldsymbol)[/math] ( второй этап ).
Первый этап. Находим диагональный вид матрицы преобразования.
1. При решении примера 9.2 были найдены корни характеристического уравнения [math]\lambda_1=0[/math] (кратности [math]n_1=2[/math] ) и [math]\lambda_2=3[/math] (кратности [math]n_2=1[/math] ).
4(1). Полученные столбцы записываем в искомую матрицу (звездочкой обозначены неизвестные пока элементы матрицы):
4(2). Полученный столбец дописываем в матрицу, полученную в пункте 4(1),
Матрица перехода к каноническому базису найдена.
Сопряжённый оператор
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.
Содержание
Естественное вложение [ править ]
| Определение: |
| [math] E [/math] называется рефлексивным, если [math] E [/math] будет совпадать с [math] E^ <**>[/math] при таком отображении. |
Например, гильбертово пространство [math] H [/math] рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).
[math] C[0, 1] [/math] не является рефлексивным.
Сопряженный оператор [ править ]
Для доказательства в обратную сторону используем следствие из теоремы Хана-Банаха:
Примеры сопряженных операторов [ править ]
В гильбертовом пространстве [math] H [/math] сопряженный оператор — тот оператор, который позволяет писать равенство выше.
| Определение: |
| Оператор [math] A [/math] в гильбертовом пространстве называется самосопряженным, если [math] A = A^* [/math] |
Построим сопряженный оператор:
[math] A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = [/math] (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) [math] = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt [/math]
Ортогональное дополнение [ править ]
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):
Оба включения [math] \subset [/math] очевидны по определению. В обратную сторону:
Теоремы о множестве значений оператора [ править ]
Теорема 1 [ править ]
Если допустить, что [math]t_
Рассмотрим значение [math]\widetilde<\varphi_0>(y)[/math] :
Теорема 2 [ править ]
2) Докажем теперь обратное включение:
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых [math]R(A)[/math] — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.
Найти матрицу сопряженного оператора
Найти матрицу оператора сопряжённого для данного линейного оператора
Здравствуйте! Подскажите мне, пожалуйста, как делать данную задачу: Матрица линейного оператора.
Найти матрицу сопряженного оператора в том же базисе
Может ли кто-нибудь помочь мне с этой задачей, пожалуйста. Спасибо. Линеному оператору Ã в.
Найти матрицу сопряженного преобразования в данном базисе
В евклидовом пространстве Е4 задан ортонормированный базис е=
Найти матрицу оператора
Оператор A в пространстве V задан соотношением A(x)=(a,x)a, где a(-2;5;-5). Найти матрицу оператора.
Спасибо за подсказку. Сейчас все пересмотрю. Я то делала по определению сопряженной матрицы, но всюду, где смотрела, рассматриваются матрицы с комплексными числами, там при написании сопряженной матрицы у элементов перед мнимой частью меняется знак и матрица транспонируется, а здесь то числа ни комплексные. Я и засомневалась, подумала, так ли поняла определение, может есть хоть формула, например, как для нахождения обратной матрицы.
Найти матрицу оператора
Здравствуйте. Имеется оператор проектирования на плоскость y=0. Скажите, как составить его.
Найти матрицу оператора Х
Найти матрицу оператора Х—\begin
Найти матрицу линейного оператора
Здравствуйте. Задана матрица M линейного оператора j в стандартном базисе. Найти матрицу линейного.
6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
Пусть X – банахово пространство и А – ограниченный линейный оператор, определенные на Х, с областью значений в банаховом пространстве Y. Пусть х ÎХ и f ÎY*. Тогда определено значение f(Ax), при этом выполняются неравенства | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.
определенный на Y*, с областью значений в пространстве X*. Этот оператор A* связан с оператором А равенством (A*f)(x) = f(Ax). Если применить введенное в п. 2 обозначение для линейного функционала f(x) = (x, f), то связь операторов будет выглядеть симметрично:
Оператор A* однозначно определяется формулой (1) и называется оператором, сопряженным с оператором А.
Действительно, если для всех x и y имеют место равенства
то отсюда по следствию 4 из теоремы Хана-Банаха следует, что A1*y= A*y для всех y, а это означает, что A*=A1*.
Теорема 11. Сопряженный оператор A* – линейный и 
.
Доказательство. Докажем аддитивность оператора A*. Действительно, если y, z ÎY*, то из рассуждений выше вытекает существование единственного элемент (y + z)* ÎX, что (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) при всех x ÎX.
С другой стороны, с помощью формулы (1) имеем
(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x, (y+z)*),
т.е. (y+z)* = A*x + A*y, откуда A*(y+z)=A*y+A*z.
Для вычисления нормы оператора А* проведем оценки
.
Отсюда следует, что оператор A* – ограниченный и 
.
У оператора A*, в свою очередь, есть сопряженный – A**, определяемый равенством, аналогичным (1)
Но, так как из (2) A**x определяется однозначно для каждого xÎХ, то из сопоставления равенств (1) и (2) следует, что
(Ax, y) = (A**x, y) «хÎХ, «yÎY.
В силу следствия 4 из теоремы Хана-Банаха последнее означает, что A**x=Ax для всех xÎX, т.е. A**= A на пространстве Х. Применяя доказанное неравенство для нормы сопряженного оператора к A* и A**, имеем 
, что и дает требуемое равенство:. Теорема доказана.
Теорема. 12. Если А и В линейные ограниченные операторы из банахова пространства Х в банахово пространство Y, то
3. В предположении Х = Y, справедливо равенство (АВ)*=В*А*.
Доказательство. Вышеуказанные свойства вытекают из следующих соотношений:
1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*)y);
3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y).
Пример 8. В пространстве L2[a,b] рассмотрим интегральный оператор Фредгольма
с ядром, имеющим интегрируемый квадрат. Имеем, используя теорему Фубини,
, где
.
Таким образом, переход к сопряженному оператору заключается в том, что интегрирование ведется по первой переменной. Тогда как в исходном операторе оно ведется по второй.
Сопряжённые операторы
Напомним, что в евклидовом пространстве определено скалярное произведение векторов 
Определение. Если существует такой оператор B, что для любых 
и 
из евклидова пространства E справедливо 
, то оператор B называется сопряженным оператором к оператору A и обозначается A*: 
Теорема доказана на лекции.
Пример. Рассмотрим оператор Uj поворота пространства R 2 на угол j относительно начала координат против часовой стрелки:
Видно, что 
Нетрудно доказать (на лекции доказано) следующие свойства сопряженного оператора:
