Совершенные числа
Собственный делитель натурального числа — это любой делитель, кроме самого этого числа. Если число равно сумме своих собственных делителей, то оно называется совершенным. Так, 6 = 3 + 2 + 1 — это наименьшее из всех совершенных чисел (1 не в счет), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 — это еще одно такое число.
Совершенные числа были известны еще в древности и интересовали ученых во все времена. В «Началах» Евклида доказано, что если простое число имеет вид 2 n – 1 (такие числа называют простыми числами Мерсенна), то число 2 n–1 (2 n – 1) — совершенное. А в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.
Задача
Попробуйте доказать эти факты и найти еще пару-тройку совершенных чисел.
Подсказка 1
а) Чтобы доказать утверждение из «Начал» (что если простое число имеет вид 2 n – 1, то число 2 n –1 (2 n – 1) — совершенное), удобно рассмотреть сигма-функцию, которая равна сумме всех положительных делителей натурального числа n. Например, σ(3) = 1 + 3 = 4, а σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7. Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна, то есть σ(ab) = σ(a)σ(b); равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). Это свойство можно попытаться доказать или принять на веру.
При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2 n –1 (2 n – 1) сводится к проверке того, что σ(N) = 2N. Для этого пригодится мультипликативность этой функции.
б) Другой путь решения не использует никаких дополнительных конструкций вроде сигма-функции. Он опирается только на определение совершенного числа: нужно выписать все делители числа 2 n–1 (2 n – 1) и найти их сумму. Должно получиться это же число.
Подсказка 2
Получается, что 2·2 k ·m = (2 k +1 – 1)σ(m). Значит, 2 k +1 – 1 делит произведение 2 k +1 ·m, а поскольку 2 k +1 – 1 и 2 k +1 взаимно просты, то m должно делиться на 2 k +1 – 1. То есть m можно записать в виде m = (2 k +1 – 1)·M. Подставив это выражение в предыдущее равенство и сократив на 2 k +1 – 1, получим 2 k +1 ·M = σ(m). Теперь до окончания доказательства остается всего один, хотя и не самый очевидный, шаг.
Решение
В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.
а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ(pq) = σ(p)σ(q), где p и q — различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ(p) = 1 + p, σ(q) = 1 + q, а σ(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).
Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, здесь.
Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2 n – 1 — простое число Мерсенна, то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km — составное, то 2 km – 1 = (2 k ) m – 1 делится на 2 k – 1 (поскольку выражение x m – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2 n – 1. Обратное утверждение — «если n — простое, то 2 n – 1 также простое» — не верно: 2 11 – 1 = 23·89.
Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель — доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2 k +1 ·M = σ(m) следует, что m делится на M. Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2 k +1 – 1)·M = 2 k +1 ·M = σ(m). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m. Значит, M = 1, а m — простое число, которое имеет вид 2 k +1 – 1. Тогда N = 2 k ·m = 2 k (2 k +1 – 1), что и требовалось.
Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n, что 2 n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2 n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число — 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 2 7 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).
Послесловие
Первые два совершенных числа — 6 и 28 — были известны с незапамятных времен. Евклид (и мы вслед за ним), применив доказанную нами формулу из «Начал», нашел третье и четвертое совершенные числа — 496 и 8128. То есть сначала было известно всего два, а потом четыре числа с красивым свойством «быть равными сумме своих делителей». Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы, оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», — говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 — самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
Пятое совершенное число — 33 550 336 — было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Им соответствуют n = 17 и n = 19 в формуле Евклида. Обратите внимание, что счет идет уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!
Вернемся к четным совершенным числам. Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным. В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века — и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету. В основном поиском новых мерсенновских простых (а с ними — и новых совершенных чисел) занимаются участники проекта GIMPS (mersenne.org).
Совершенные числа и их подобия
Среди мириад чисел редко встретишь совершенное число. Древние много внимания уделяли такому понятию, как делимость чисел, и их поразила особенность крайне редко встречающегося случая, когда сумма делителей совпадает с самим числом. Очень долго ученый мир цивилизации знал всего лишь четыре таких числа: 6; 28; 496; 8128. Совершенные – дали им название.
Оперирует ими раздел математики «теория чисел», но вот беда, стоит вчерашнему школьнику овладеть четырьмя арифметическими действиями, как эти самые числа перестают выходить из под его пера. Вместо них уважающий себя математик будет писать «a, b, c, d» и прочие знаки мало похожие на числа. И это в теории чисел!
Крайне неправильное поведение. Здесь читатель такого не встретит. Числа конкретны, красивы в своем истинном обличье и давайте вернемся к ним.
Вот с незапамятных времен известные совершенные числа со своими удивительными делителями.
6;1+2+3=6
28;1+2+4+7+14=28
496;1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
8128;1+2+4+8+16+32+64+127+256+508+1016+2032+4064=8128
Если эти делители подать попарно, когда их перемножение дает искомое число, то структура совершенного числа становится прозрачной.
Итак, верхняя часть пар удваивается начиная с единицы, а нижняя тоже удваивается в обратном порядке, но за исход удвоения берется всегда простое число.
Важное значение в структуре делителей совершенного числа играет геометрическая прогрессия постоянно удваиваемых чисел: 1,2,4,8,16,32 и т.д. Дело в том, что сумма делителей абсолютно всех членов этой прогрессии имеет замечательное свойство – она все время меньше самого числа на единицу:
1х2=2 делитель 1
2х2=4 делители её:1+2=3 Совершенное число 6
4х2=8 делители её:1+2+4=7 Совершенное число 28
8х2=16 делители её:1+2+4+8=15
16х2=32 делители её:1+2+4+8+16=31 Совершенное число 496
С такой структурой делителей можно найти много чисел, но далеко не все будут совершенными. Обратим внимание на ряд удвоенных чисел. Сразу заметно, что после 8 поворота нет; казалось бы между 28 и 496 должно быть еще одно совершенное число. Попробуем его здесь найти. Удваиваем 8. Меньше на единицу этого удвоения будет число 15, но оно число не простое, а составное и потому не годится.
Почему не годится? Давайте проверим. Расставляем делители прежним порядком.
8//15+4//30+2//60=120
Увы, это далеко не все имеющиеся у числа делители. Коль 15 число составное, появляются дополнительные делители. Само 15 добавляет делители 3 и 5; 30 добавляет делители 6 и 10. Словом, много и еще раз много. Вот полная картина:
Сумма делителей 120;1+2//60+3//40+4//30+5//24+6//20+8//15+10//12=240
То есть 120 далека от совершенства на те же 120 единиц.
Находим середину между числами 104 и 136. (104+136):2=120. Характерно, что и через «поворотное число» 15, выходит тоже оно: 15х8=120. Выше мы определили, что сумма делителей 120=240. Это не просто число избыточное, а сверх избыточное. Сообразно месту появления следует признать 120 ложным совершенным числом.
При удвоении 16 около 32 есть простое число меньшее на единицу – 31. В этом случае все складывается чудесно и мы получаем совершенное число 496.
Давайте теперь попробуем в этом месте сделать поворот с другими простыми числами. Сначала пойдем в сторону уменьшения, чтобы найти предел в этой формуле (простые числа, которые удваиваются в нижней части пар делителей, где-то в районе 1,2,3 должны дать сбой в общей структуре построения таких пар).
Первое простое число меньшее 31, это 29 и далее подставляем простые «поворотные числа» по нисходящей.
Число:16х29=464 Сумма делителей:16//29+8//58+4//116+2//232+1=466+2
Число:16х23=368 Сумма делителей:16//23+8//46+4//92+2//184+1=376+8
Число:16х19=304 Сумма делителей:16//19+8//38+4//76+2//152+1=316+12
Число:16х17=272 Сумма делителей:16//17+8//34+4//68+2//136+1=286+14
Число:16х13=208 Сумма делителей:16//13+8//26+4//52+2//104+1=226+18
Число:16х11=176 Сумма делителей:16//11+8//22+4//44+2//88+1=196+20
Число:16х7=112 Сумма делителей:16//7+8//14+4//28+2//56+1=136+24
Число:16х5=80 Сумма делителей:16//5+8//10+4//20+2//40+1=106+26
Число:16х3=48 Сумма делителей:16//3+8//6+4//12+2//24+1=76+28
Ну, и чтобы до конца пройти этот путь подставляем единицу: 16х1=16. Сумма его делителей:16//1+8//2+4//4+2//8. Отбросим дубли и сумма делителей 16 будет: 1+2+4+8+16=31. Да, да, снова 31, поскольку делитель 16, появившийся от деления 16 на единицу, стал делителем равным самому числу, чего ранее не встречалось. Этот случай поможет нам в дальнейшем.
Теперь будем подставлять простые числа, которые больше 31.
Число:16х37=592 Сумма делителей:16//37+8//74+4//148+2//296+1=586-6
Число:16х41=656 Сумма делителей:16//41+8//82+4//164+2//328+1=646-10
Число:16х43=688 Сумма делителей: 16//43+8//86+4//172+2//344+1=676-12
Число:16х47=752 Сумма делителей:16//47+8//94+4//188+2//376+1=736-16
Число:16х53=848 Сумма делителей:16//53+8//106+4//212+2//424+1=826-22
Число:16х59=944 Сумма делителей:16//59+8//118+4//236+2//472+1=916-28
Как видим, чтобы дойти до разрыва между основным числом и суммой его делителей в 28 единиц, в сторону минуса потребовалось меньшее число подстановок в поворот простых чисел.
Вернемся к структуре делителей совершенных чисел и им подобным. Ряд все время удваивающихся чисел, а именно таковые содержит верхний ряд пар делителей совершенных чисел, таит в себе уникальную особенность. Именно здесь собраны все числа, сумма делителей которых меньше самого числа на единицу. С первыми числами в таком удвоении все понятно и неясно одновременно (об этом позже): 1; 2; 4. Четверка, первое составное число сумма делителей которого дает число предыдущее – 3. Эта тройка далее тоже играет важную роль. Впрочем, единственный делитель у двойки тоже показывает число предыдущее – 1.
Сначала представим появление самого ряда постоянного удвоения с исчислением суммы делителей чисел его составляющих:
1
1х2=2 делитель:1
2х2=4 делители:1+2=3
4х2=8 делители:1+2+4=7
8х2=16 делители:1+2+4+8=15
16х2=32 делители:1+2+4+8+16=31
32х2=64 делители: 1+2+4+8+16+32=63
64х2=128 делители:1+2+4+8+16+32+64=127
128х2=256 делители:1+2+4+8+16+32+64+128=255
На первый взгляд они все готовы породить число совершенное, поскольку суммы делителей их меньше на 1 самого числа. Однако есть еще одно важное условие. Эта сумма делителей, меньшая на 1, сама должна быть числом простым.
Представляем столбиком два ряда. Первый ряд составляют числа удваивающиеся с каждым разом. Напротив указаны суммы их делителей с примечаниями характера такого числа.
1
2;1 простое
4;3 простое
8;7 простое
16;15 составное, делится на 3 (есть и другие делители, но этого достаточно)
32;31 простое
64;63 составное – делится на 3 (эта тройка часто встречается в этом случае)
128;127 простое
256;255 составное – делится на 3
512;511 составное – делится на 73
1024;1023 составное – делится на 3
2048;2047 составное – делится на 23
4096;4095 составное – делится на 3
8192;8191 простое
Простое число из ряда суммы делителей перемноженное на число из предыдущей пары из ряда чисел удваивающихся всегда дает совершенное число.
8191х4096=33550336
127х64=8128
31х16=496
7х4=28
3х2=6
1х1=1
Общепринятым в математике является утверждение, что первое совершенное число 6, второе – 28, третье – 496, четвертое – 8128, пятое (найденное только в 15 веке) – 33550336.
Приведенное выше доказательство переворачивает эти представления. Первым совершенным числом является единица.
Это тем очевиднее, что все известные совершенные числа (кроме 6) при сложении их цифр и сведения их к числу однозначному, всегда дают 1.
Все совершенные числа пронизаны двоичностью: удваиваются делители верхнего ряда пар, удваиваются в обратном направлении делители нижнего ряда пар. Если складывать суммы обратных величин делителей и самого совершенного числа (здесь появляются дроби), то в результате всегда будет двойка.
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/28=2
Казалось бы, что единица никак не сможет вместить в себя эту двоичность. Однако, если рассматривать единицу, как число совершенное, то она удовлетворяет представленному выше требованию и сложение дробей 1/1+1/1 тоже дает 2.
Значит, единица есть число совершенное.
Любая группа чисел, которая может быть представлена в виде последовательности подчиняющейся какому-то правилу называется рядом. Иногда ряд конечен, иногда бесконечен, но начало есть всегда. Общеизвестный факт, что совершенные числа представляются такой последовательностью. Показывать будто этот ряд начинается с 6 не очень естественно. Единица часто выступает отправной точкой для многих рядов и в этом случае несомненно принадлежит этому ряду. Если толковать, что все совершенные числа являются числами треугольными, (это тоже признанный факт), то уместно напомнить, ряд треугольных чисел начинается с единицы.
Разумеется, главным барьером, лежащим веками на пути признания единицы совершенным числом, является условие, что у всех рассматриваемых чисел не берется в качестве делителя само число, хотя аналогичный делитель, присутствующий, как делитель абсолютно в каждом числе – единица, допускается.
Однако, допуская единицу, как делитель в единице, мы не рассматриваем ее в качестве самого числа. Для нас, этот есть сумма делителей следующего числа геометрической прогрессии простого числа 2, (это, как появление делителя 3 для следующего совершенного числа – он есть сумма делителей числа 4 в геометрической прогрессии удваиваемых чисел), а уж то, что он совпал с самим числом, так это частный случай.
Такой частный случай появляется всякий раз, когда мы в структуру делителей тех или иных совершенных чисел подставляем в качестве «числа поворота» самое малое простое число 1.
Для примера возьмем два совершенных числа 28 и 496 и будем в структуру их делителей подставлять самые малые простые числа 1,2,3.
Вот структура делителей 28;4//7+2//14+1=28 На место 7 (число поворота) подставляем последовательно 3,2,1 (в обратном порядке будет нагляднее).
4х3=12 12;4//3+2//6+1=16(+4)
4х2=8 8;4//2+2//4+1=7(-1)
4х1=4 4;4//1+2//2+1=7(-1)
Тоже проделываем с более обширной структурой делителей совершенного числа 496;16//31+8//62+4//124+2//248+1=496
16х3=48 48;16//3+8//6+4//12+2//24+1=76(+28)
16х2=32 32;16//2+8//4+4//8+2//16+1=31(-1)
16х1=16 16;16//1+8//2+4//4+2//8+1=31(-1)
Как видим в обоих случаях при подстановке в поворот 1 сумма делителей не уменьшалась по сравнению с подстановкой 2, хотя сами числа уменьшились наполовину. Это произошло оттого, что крупнейший делитель в структуре делителей сравнялся с самим числом, но не потому, что мы его априори взяли равным, а оттого что в подстановке простое число один меньше вдвое простого числа два и при перемножении уменьшило вдвое исследуемое число. То есть, изначально мы не берем делитель равный самому числу, но таковой у нас получается.
Следовательно рассматривать 1=1х1 и 2=1/1+1/1 корректно и единица есть совершенное число.
В погоне за совершенными числами, рассматривая массив чисел порождаемых «поворотными числами», все «следопыты математики» отлавливали из этого массива драгоценные совершенные числа, забывая обозреть массив целиком. А ведь каждое число получаемое через «поворотные числа» обладает замечательными свойствами. «Ложные совершенные» отличаются сверх избыточностью, подавляя этим качеством все ближайшие числа.
120;сумма делителей 240(+120) коэффициент 2
Только через 60 единиц появляется число сопоставимое по избыточности.
168;сумма делителей 312(+144) коэффициент 1,86
180;сумма делителей 366(+186) коэффициент 2,03
Теперь приведем таблицу «поворотных чисел» и результат от их подстановки в поворот сумм делителей. Первая колонка – геометрическая прогрессия постоянного удвоения. Вторая колонка – сумма делителей конкретного числа из геометрической прогрессии и одновременно «число поворота» в структуре сумм делителей при поиске совершенного числа. Третья колонка – результат перемножения «числа поворота» на число из первой колонки, но предшествующей строки (перемножение по диагонали таблицы), как результат поиска числа совершенного, а далее указан результат.
1
2;1;1 (1х1) Совершенное число 1
4;3;6 (3х2) Совершенное число 6
8;7;28 (7х4) Совершенное число 28
16;15;120 (15х8) Ложное совершенное 120 (+120)
32;31;496 (31х16) Совершенное число 496
64;63;2016 (63х32) Ложное совершенное 2016 (+2520)
128;127;8128 (127х64) Совершенное число 8128
Совершенное число
Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.
Совершенные числа образуют последовательность: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, …
Примеры
1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3 ; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
История изучения
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида. Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа:
8 589 869 056 и 137 438 691 328.
В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа. В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.
Известно 47 чётных совершенных чисел, поиском новых чисел занимается проект распределённых вычислений GIMPS.
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.
Совершенные числа: как их идентифицировать и примеры
Содержание:
Сумма делителей целого числа, не считая самого числа, называется аликвота. Следовательно, идеальное число равно его аликвоте.
Но если само число входит в сумму делителей числа, тогда совершенное число будет таким, в котором сумма всех его делителей, деленная на 2, равна самому числу.
История
Математики древности, особенно греки, придавали большое значение совершенным числам и приписывали им божественные качества.
Совершенные числа также присутствуют в природе, например, на северном полюсе Сатурна также появляется совершенное число 6, вихрь в форме шестиугольника, обнаруженный зондом Кассини и заинтриговавший ученых.
Свойства совершенных чисел
Сумма всех делителей натурального числа n обозначается σ (n). В совершенном числе выполняется равенство σ (n) = 2n.
Формула и критерии Евклида
Евклид открыл формулу и критерий, позволяющий находить идеальные числа. Эта формула:
Посмотрим, как генерируются первые совершенные числа:
Посмотрим, что будет с n = 4. Подставляя в формулу Евклида, мы имеем:
Можно проверить, что это число несовершенно, как подробно показано в примере 3. Это не противоречит критерию Евклида, поскольку 15 не является простым числом, что является необходимым требованием для того, чтобы результат был совершенным числом.
Теперь посмотрим, что происходит при n = 5. Применяя формулу, мы имеем:
Позже в 18 веке Леонард Эйлер показал, что все совершенные числа, порожденные формулой Евклида, четны.
На сегодняшний день не найдено ничего необычного.
Самое большое известное совершенное число
На сегодняшний день известен 51 идеальное число, все они получены с использованием формулы и критериев Евклида. Это число было получено после того, как был найден самый большой двоюродный брат Мерсенна, а именно: (2 82589933 – 1).
Идеальный номер дружит сам с собой
В теории чисел два числа считаются друзьями, если сумма делителей одного, не включая само число, равна другому числу, и наоборот.
Читатель может убедиться, что сумма делителей числа 220, исключая 220, равна 284. С другой стороны, сумма делителей числа 284, исключая 284, равна 220. Следовательно, пара чисел 220 и 284 друзья.
С этой точки зрения идеальный номер дружит сам с собой.
Примеры идеальных чисел
Первые восемь совершенных чисел перечислены ниже:
Упражнения
В следующих упражнениях необходимо будет вычислить делители числа, затем сложить их и проверить, является ли число идеальным числом или нет.
Поэтому, прежде чем приступить к упражнениям, мы рассмотрим концепцию и покажем, как они рассчитываются.
Для начала помните, что числа могут быть простыми (когда их можно разделить только на себя и 1) или составными (когда они могут быть разложены как произведение простых чисел).
Для составного числа N имеем:
В терминах этих показателей существует формула, чтобы узнать, сколько делителей имеет число N, хотя она не сообщает нам, что это такое. Пусть C будет этой величиной, тогда:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
Разложение числа N как произведения простых чисел и знание того, сколько у него делителей, простых и непростых, поможет нам определить, что это за делители.
Когда у вас есть все из них, кроме последнего, которое не требуется в сумме, вы можете проверить, является ли это идеальным числом или нет.
— Упражнение 1
Убедитесь, что число 28 идеально.
Решение
Его делители: 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Если исключить 28, сумма делителей дает:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28
Кроме того, сумма всех его делителей равна 28 + 28, поэтому правило σ (28) = 2 x 28 выполняется.
— Упражнение 2.
Решите, идеально ли число 38 или нет.
Решение
Число раскладывается на простые множители:
— Упражнение 3.
Узнайте, идеально ли число 120 или нет.
Решение
Приступим к разложению числа на простые множители:
Из простых множителей переходим к нахождению делителей:
Если 120 было идеальным, сложение всех его делителей должно получить 2 x 120 = 240.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
Этот результат явно отличается от 240, поэтому можно сделать вывод, что число 120 не идеальное.
— Упражнение 4.
Убедитесь, что число 496, полученное с помощью критериев Евклида, является идеальным числом.
Решение
Число 496 раскладывается на простые множители:
Сейчас их все добавлены, кроме 496:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Подтверждая, что это действительно идеальный номер.
Ссылки
Саркодинос: характеристики и классификация
Беспокойство по поводу безработицы: как оно возникает и что делать?
