Как вычислить среднее арифметическое
Среднее арифметическое — статистический показатель, который демонстрирует среднее значение заданного массива данных. Такой показатель рассчитывается как дробь, в числителе которой стоит сумма всех значений массива, а в знаменателе — их количество. Среднее арифметическое — важный коэффициент, который находит применение в бытовых расчетах.
Смысл коэффициента
Среднее арифметическое — элементарный показатель для сравнения данных и подсчета приемлемого значения. К примеру, в разных магазинах продается банка пива конкретного производителя. Но в одном магазине она стоит 67 рублей, в другом — 70 рублей, в третьем — 65 рублей, а в последнем — 62 рубля. Довольно большой разбег цен, поэтому покупателю будет интересна средняя стоимость банки, чтобы при покупке товара он мог сравнить свои расходы. В среднем банка пива по городу имеет цену:
Средняя цена = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рублей.
Зная среднюю цену, легко определить где выгодно покупать товар, а где придется переплатить.
Среднее арифметические постоянно используется в статистических расчетах в случаях, если анализируется однородный набор данных. В примере выше — это цена банки пива одной марки. Однако мы не можем сравнить цену на пиво разных производителей или цены на пиво и лимонад, так как в этом случае разброс значений будет больше, средняя цена будет смазана и недостоверна, а сам смысл расчетов исказится до карикатурного «средняя температура по больнице». Для расчета разнородных массивов данных используется среднее арифметическое взвешенное, когда каждое значение получает свой весовой коэффициент.
Подсчет среднего арифметического
Формула для вычислений предельно проста:
где an – значение величины, n – общее количество значений.
Для чего может использоваться данный показатель? Первое и очевидное его применение — это статистика. Практически в каждом статистическом исследовании используется показатель среднего арифметического. Это может быть средний возраст вступления в брак в России, средняя оценка по предмету у школьника или средние траты на продукты в день. Как уже говорилось выше, без учета весов подсчет средних значений может давать странные или абсурдные значения.
К примеру, президент Российской Федерации сделал заявление, что по статистике, средняя зарплата россиянина составляет 27 000 рублей. Для большинства жителей России такой уровень зарплаты показался абсурдным. Не мудрено, если при расчете учитывать размер доходов олигархов, руководителей промышленных предприятий, крупных банкиров с одной стороны и зарплаты учителей, уборщиков и продавцов с другой. Даже средние зарплаты по одной специальности, например, бухгалтера, будут иметь серьезные отличия в Москве, Костроме и Екатеринбурге.
Как считать средние для разнородных данных
В ситуациях с подсчетом заработной платы важно учитывать вес каждого значения. Это означает, что зарплаты олигархов и банкиров получили бы вес, например, 0,00001, а зарплаты продавцов — 0,12. Это цифры с потолка, но они приблизительно иллюстрируют распространенность олигархов и продавцов в российском обществе.
Таким образом, для подсчета среднего средних или среднего значения в разнородном массиве данных, требуется использовать среднее арифметическое взвешенное. Иначе вы получите среднюю зарплату по России на уровне 27 000 рублей. Если же вы хотите узнать свою среднюю оценку по математике или среднее количество забитых шайб выбранного хоккеиста, то вам подойдет калькулятор среднего арифметического.
Наша программа представляет собой простой и удобный калькулятор для расчета среднего арифметического. Для выполнения расчетов вам понадобится ввести только значения параметров.
Рассмотрим пару примеров
Расчет средней оценки
Многие учителя используют метод среднего арифметического для определения годовой оценки по предмету. Давайте представим, что ребенок получил следующие четвертные отметки по математике: 3, 3, 5, 4. Какую годовую оценку ему поставит учитель? Воспользуемся калькулятором и посчитаем среднее арифметическое. Для начала выберете соответствующее количество полей и введите значения оценок в появившиеся ячейки:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Учитель округлит значение в пользу ученика, и школьник получит за год твердую четверку.
Расчет съеденных конфет
Давайте проиллюстрируем некоторую абсурдность среднего арифметического. Представим, что у Маши и Вовы было 10 конфет. Маша съела 8 конфет, а Вова — всего 2. Сколько конфет в среднем съел каждый ребенок? При помощи калькулятора легко вычислить, что в среднем дети съели по 5 конфет, что совершенно не соответствует действительности и здравому смыслу. Этот пример показывает, что показатель среднего арифметического важно считать для осмысленных наборов данных.
Заключение
Расчет среднего арифметического широко используется во многих научных сферах. Этот показатель популярен не только в статистических расчетах, но и в физике, механике, экономике, медицине или финансах. Используйте наши калькуляторы в качестве помощника для решения задач на вычисление среднего арифметического.
Простая формула, чтобы подсчитать среднее арифметическое
Понятие среднего арифметического
Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Формула среднего арифметического, которую обычно проходят в 5 классе, выглядит так:
Потренируемся использовать формулу среднего арифметического.
Например, найдем среднее арифметическое чисел 2, 3 и 4. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.
Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на 3, и получим ответ — 3.
Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: узнать среднюю цену товара в разных магазинах, вычислить среднюю зарплату сотрудников компании, сравнить среднюю посещаемость занятий учениками 5А и 5Б.
Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:
Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.
Примеры расчета среднего арифметического
Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.
Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.
Пример 2. Подсчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.
Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.
Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.
Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.
Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.
Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.
Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.
Еще больше интересных практических заданий — на курсах математики в онлайн-школе Skysmart. Вводный урок — бесплатно!
Как правильно вычислить среднее значение?
Средняя зарплата… Средняя продолжительность жизни… Практически каждый день мы с вами слышим эти словосочетания, используемые для описания множества одним единственным числом. Но как ни странно, «среднее значение» — достаточно коварное понятие, часто вводящее в заблуждение обычного, неискушенного в математической статистике, человека.
В чем проблема?
Под средним значением чаще всего подразумевается среднее арифметическое, которое очень сильно варьируется под воздействием единичных фактов или событий. И вы не получите реального представления о том, как именно распределены значения, которые вы изучаете.
Давайте обратимся к классическому примеру со средней зарплатой.
В какой-то абстрактной компании работает десять сотрудников. Девять из них получают зарплату около 50 000 рублей, а один 1 500 000 рублей (по странному совпадению он же является генеральным директором этой компании).
Средним значением в данном случае будет 195 150 рублей, что согласитесь, неправильно.
Какие способы вычисления среднего бывают?
Первым способом является вычисление уже упомянутого среднего арифметического, являющегося суммой всех значений, деленной на их количество.
Вторым способом является вычисление моды, то есть наиболее часто встречающегося значения.
Третий способ — это вычисление медианы, то есть значения, которое делит упорядоченную выборку на две половины и находится между ними. А если такого значения нет, то за медиану принимается среднее арифметическое между границами половин выборки.
Мы рассмотрели основные методы нахождения среднего значения, называющиеся мерами центральной тенденции (на самом деле их больше, но это наиболее популярные).
А теперь давайте вернемся к нашему примеру и посчитаем все три варианта среднего при помощи специальных функций Excel:
И вот какие значения у нас получились:
В данном случае мода и медиана гораздо лучше характеризуют среднюю зарплату в компании.
Но что делать, когда в выборке не 10 значений, как в примере, а миллионы? В Excel это не посчитать, а вот в базе данных где хранятся ваши данные, без проблем.
Вычисляем среднее арифметическое на SQL
И чтобы ее использовать достаточно написать вот такой запрос:
Вычисляем моду на SQL
В SQL нет отдельной функции для нахождения моды, но ее легко и быстро можно написать самостоятельно. Для этого нам необходимо узнать, какая из зарплат чаще всего повторяется и выбрать наиболее популярную.
Вычисляем медиану на SQL
Выглядит все это так:
Подробнее о работе функции PERCENTILE_CONT лучше почитать в справке Microsoft и Google BigQuery.
Какой способ все-таки использовать?
Из сказанного выше следует, что медиана лучший способ для вычисления среднего значения.
Но это не всегда так. Если вы работаете со средним, то остерегайтесь многомодального распределения:
На графике представлено бимодальное распределение с двумя пиками. Такая ситуация может возникнуть, например, при голосовании на выборах.
В данном случае среднее арифметическое и медиана — это значения, находящиеся где-то посередине и они ничего не скажут о том, что происходит на самом деле и лучше сразу признать, что вы имеете дело с бимодальным распределением, сообщив о двух модах.
А еще лучше разделить выборку на две группы и собрать статистические данные для каждой.
Вывод:
При выборе метода нахождения среднего нужно учитывать наличие выбросов, а также нормальность распределения значений в выборке.
Окончательный выбор меры центральной тенденции всегда лежит на аналитике.
Как рассчитать среднюю величину
Что такое средняя величина мы уже разобрали вот здесь. Сейчас поговорим о том, как рассчитывать среднюю величину.
В классическом виде общая теория статистики предлагает нам один вариант правил выбора средней величины.
Сначала необходимо составить правильно логическую формулу для расчета средней величины (ЛФС). Для каждой средней величины всегда есть только одна логическая формула ее расчета, поэтому ошибиться тут трудно. Но всегда надо помнить, что в числителе (это то, что сверху дроби) сумма всех явлений, а в знаменателе (то, что внизу дроби) общее количество элементов.
После того как составлена логическая формула можно пользоваться правилами (для простоты понимания упростим их и сократим):
1. Если в исходных данных (определяем по частоте) представлен знаменатель логической формулы, то расчет проводим по формуле средней арифметической взвешенной.
2. Если в исходных данных представлен числитель логической формулы, то расчет ведем по формуле средней гармонической взвешенной.
3. Если в задаче представлены сразу и числитель и знаменатель логической формулы (такое бывает редко), то расчет проводим по этой формуле или по формуле средней арифметической простой.
Это классическое представление о выборе верной формулы расчета средней величины. Далее представим последовательность действий при решении задач на расчет средней величины.
Алгоритм решения задач на расчет средней величины
А. Определяем способ расчета средней величины – простой или взвешенный. Если данные представлены в таблице то используем взвешенный способ, если данные представлены простым перечислением, то используем простой способ расчета.
Б. Определяем или расставляем условные обозначения – x – варианта, f – частота. Варианта это то, для какого явления требуется найти среднюю величину. Оставшиеся данные в таблице будут частотой.
В. Определяем форму расчета средней величины – арифметическая или гармоническая. Определение проводится по колонке частот. Арифметическая форма используется, если частоты заданы явным количеством (условно к ним можно подставить слово штук, количество элементов «штук»). Гармоническая форма используется, если частоты заданы не явным количеством, а сложным показателем (произведением осредняемой величины и частоты).
Самое сложное, это догадаться, где и какое количество задано, особенно неопытному в таких делах студенту. В такой ситуации можно воспользоваться одним из предлагаемых далее способов. Для некоторых задач (экономических) подходит наработанное годами практики утверждение (пункт В.1). В других же ситуациях придется пользоваться пунктом В.2.
В.1 Если частота задана в денежных единицах (в рублях), то используется для расчета средняя гармоническая, такое утверждение верно всегда, если выявленная частота задана в деньгах, в других ситуациях это правило не действует.
В.2 Воспользоваться правилами выбора средней величины указанными выше в этой статье. Если частота задана знаменателем логической формулы расчета средней величины, то рассчитываем по средней арифметической форме, если частота задана числителем логической формулы расчета средней величины, то рассчитываем по средней гармонической форме.
Рассмотрим на примерах использование данного алгоритма.
Задача 1. Рассчитать средний размер пенсии, если известны пенсии 12 пенсионеров – 8500, 7900, 11200, 9900, 8800, 8700, 9100, 9500, 7500, 8400, 10400, 10600 рублей.
А. Так как данные представлены в строчку то используем простой способ расчета.
Б. В. Имеем только данные по величине пенсий, именно они и будут нашей вариантой – х. Данные представлены простым количеством (12 человек), для расчета используем среднюю арифметическую простую.
Средний размер пенсии пенсионера составляет 9208,3 рубля.
Задача 2. Рассчитать средний размер детских выплат по следующим данным
А. Так как данные представлены в таблице то для расчета используем взвешенную форму.
В. Частота (число детей) задана явным количеством (можно подставить слово штук детей, с точки зрения русского языка неверное словосочетание, но, по сути, очень удобно проверять), значит, для расчета используется средняя арифметическая взвешенная.
Эту же задачу модно решить не формульным способом, а табличным, то есть занести все данные промежуточных расчетов в таблицу.
В результате все, что нужно теперь сделать, это разделить два итоговых данных в правильно порядке.
Средний размер выплаты на одного ребенка в месяц составил 1910 рублей.
Задача 3. Рассчитать среднюю себестоимость единицы изделия
А. Так как данные представлены в таблице то для расчета используем взвешенную форму.
В. Частота (себестоимость выпуска) задана неявным количеством (частота задана в рублях пункт алгоритма В1 ), значит, для расчета используется средняя гармоническая взвешенная. Вообще же, по сути, себестоимость выпуска это сложный показатель, который получается перемножение себестоимости единицы изделия на количество таких изделий, вот это и есть суть средней гармонической величины.
Чтобы эта задача могла решаться по формуле средней арифметической необходимо, чтобы вместо себестоимости выпуска стояло число изделий с соответствующей себестоимостью.
Обратите внимание, что сумма в знаменателе, получившаяся после расчетов 410 (120+80+210) это и есть общее количество выпущенных изделий.
Средняя себестоимость единицы изделия составила 314,4 рубля.
Задача 4. Рассчитать среднюю число пропусков одного студента
А. Так как данные представлены в таблице то для расчета используем взвешенную форму.
Чтобы эта задача могла решаться по формуле средней арифметической необходимо, чтобы вместо общего числа пропусков стояло число студентов.
Составляем логическую формулу расчета среднего числа пропусков одного студента.
Частота по условию задачи Общее число пропусков. В логической формуле этот показатель находится в числителе, а значит, используем формулу средней гармонической.
Обратите внимание, что сумма в знаменателе, получившаяся после расчетов 31 (18+8+5) это и есть общее количество студентов.
Среднее число пропусков одного студента 13,8 дня.
Расчёт средних тарифных величин
В зависимости от наличия исходной информации и последовательности расчётов могут использоваться различные методы определения средних тарифных величин.
Средний тарифный коэффициент (Кср) может быть рассчитан:
1) как средняя величина тарифных коэффициентов отдельных разрядов (Кi), взвешенных по численности работников (Чi) или трудоёмкости работ (Тi) соответствующих разрядов:
и 
;
2) как отношение средней тарифной ставки (Сср) к тарифной ставке первого разряда (С1):
;
3) по номеру среднего разряда как сумма тарифного коэффициента меньшего (Км) из двух смежных разрядов, между которыми находится средний разряд (Рср), и произведения разницы коэффициентов большего (Кб) и меньшего из двух смежных по отношению к среднему разрядов и разницы между величиной среднего и меньшего (Рм) разрядов:
или как разница между тарифным коэффициентом большего из двух смежных разрядов и произведением разницы между тарифными коэффициентами большего и меньшего тарифных разрядов на разницу между величиной большего и среднего разрядов:
.
Средняя тарифная ставка (Сср) может быть рассчитана:
1) как средняя величина тарифных ставок отдельных разрядов (Сi), взвешенных по численности работников (Чi) или трудоёмкости работ (Тi) соответствующих разрядов:
и 
;
2) как произведение тарифной ставки первого разряда и среднего тарифного коэффициента:
;
3) по номеру среднего разряда как сумма тарифной ставки меньшего (См) из двух смежных разрядов, между которыми находится средний разряд, и произведения разницы ставок большего (Сб) и меньшего из двух смежных по отношению к среднему разрядов и разницы между величиной среднего и меньшего (Рм) разрядов:
или как разница между тарифной ставкой большего из двух смежных разрядов, между которыми находится средний разряд, и произведением разницы между тарифными ставками большего и меньшего тарифных разрядов и разницы между величиной большего и среднего разрядов:
.
Средний тарифный разряд может быть рассчитан методом интерполяции:
1) исходя из величины среднего тарифного коэффициента. По тарифной сетке устанавливается, между какими смежными разрядами находится средний тарифный коэффициент, и определяется величина среднего разряда по формулам:
или 
;
2) исходя из величины средней тарифной ставки. Если известны тарифные ставки всех разрядов сетки, устанавливается, между какими смежными разрядами находится средняя тарифная ставка, и определяется величина среднего разряда по формулам:
или 
.
Рассмотрим методику определения средних тарифных величин на условном примере, используя данные таблицы 10.6.
Исходные данные для расчёта средних
тарифных величин по условной бригаде
| Разряды | ||||||
| Тарифные коэффициенты (Кi) | 1,0 | 1,10 | 1,25 | 1,45 | 1,70 | 2,0 |
| Часовые тарифные ставки (Сi), руб. | 24,0 | 26,4 | 30,0 | 34,8 | 40,8 | 48,0 |
| Численность рабочих по разрядам (Чi), чел. | — | — | ||||
| Трудоёмкость выполненных бригадой работ по разрядам (Тi), нормо-часы | — |
Средний тарифный коэффициент рабочих бригады (Кср.ч) рассчитываем как среднюю величину тарифных коэффициентов имеющихся в бригаде разрядов, взвешенных по числу рабочих соответствующих разрядов:
.
Сопоставляя полученный средний тарифный коэффициент с данными таблицы, определяем, что он расположен между коэффициентами 4-го и 5-го разрядов. Следовательно, средний разряд рабочих бригады будет больше 4-го, но меньше 5-го разрядов. По приведённым выше формулам рассчитываем величину среднего разряда рабочих (Рср.ч):
Аналогичным образом рассчитываем средний тарифный коэффициент работ (Кср.т), используя в качестве весов трудоёмкость выполненных бригадой работ по разрядам:
и средний разряд работ (Рср.т):
.
Полученные данные свидетельствуют о том, что средняя сложность выполненных бригадой работ несколько (хотя и незначительно) превышает средний уровень квалификации рабочих бригады. Если такое соотношение средних разрядов работ и рабочих сохраняется продолжительное время, возникает вопрос о необходимости повышения квалификации рабочими или перераспределения работ между бригадами.
Средняя тарифная ставка работ (Сср.т) и рабочих (Сср.ч) может быть рассчитана по среднему тарифному коэффициенту:
руб. и 
руб.
или по номеру среднего разряда:
руб.
и 
руб.
